已知f(x)＝(x－1)2，g(x)＝10(x－1)，數(shù)列{an}滿足a1＝2，(an+1－an)g(an)＋f(an)＝0，．

(Ⅰ)求證：數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列；

(Ⅱ)當n取何值時，bn取最大值，并求出最大值；

(Ⅲ)若對任意m∈N*恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)∵(an+1－an)g(an)＋f(an)＝0，f(an)＝(an－1)2，g(an)＝10(an－1)，

　　∴(an+1－an)10(an－1)＋(an－1)2＝0．即(an－1)(10an+1－9an－1)＝0．

　　又a1＝2，可知對任何n∈N*，an－1≠0，所以．　　　　2分

　　∵，

　　∴{an－1}是以a1－1＝1為首項，公比為的等比數(shù)列．　　　　　　　　4分

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)可知an－1＝(n∈N*)．

　　∴．

　　　　　　　　　　　5分

　　當n＝7時，，；

　　當n＜7時，，bn+1＞bn；

　　當n＞7時，，bn+1＜bn．

　　∴當n＝7或n＝8時，取最大值，最大值為．　　8分

　　(Ⅲ)由，得(*)

　　依題意(*)式對任意m∈N*恒成立，

　　①當t＝0時，(*)式顯然不成立，因此t＝0不合題意．　　　　9分

　�、诋攖＜0時，由，可知tm＜0(m∈N*)．

　　而當m是偶數(shù)時tm＞0，因此t＜0不合題意．　　　　　　　　10分

　�、郛攖＞0時，由tm＞0(m∈N*)，

　　∴∴．(m∈N*)　　　　　　　　11分

　　設　　　(m∈N*)

　　∵＝，

　　∴h(1)＞h(2)＞…＞h(m－1)＞h(m)＞…．

　　∴h(m)的最大值為．

　　所以實數(shù)的取值范圍是．　　　　　　　　　　13分


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：宜都一中2008屆高三數(shù)學周練(5) 題型：044

已知f(x)＝x(x－a)(x－b)，點A(s，f(s))，B(t，f(t))．

(1)若a＝b＝1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)的導函數(shù)滿足：當|x|≤1時，有恒成立，求函數(shù)f(x)的解析表達式；

(3)若0＜a＜b，函數(shù)f(x)在x＝s和x＝t處取得極值，且a＋b＝，證明：與不可能垂直．

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科目：高中數(shù)學 來源：天津一中2008－2009年高三年級三月考數(shù)學試卷(理) 題型：044

已知f(x)＝(x∈R)，在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)．

(1)求實數(shù)a的值組成的集合A；

(2)設關(guān)于x的方程f(x)＝的兩個非零實根為x1、x2，試問：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：單選題

已知f(x)＝x+1，若f(x+1)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱圖象對應的函數(shù)為g(x)，則g(x)為( )


  1. A.
    6-x
  2. B.
    x-6
  3. C.
    x-2
  4. D.
    -x-2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)＝x－n2＋2n＋3(n＝2k，k∈Z)的圖象在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年河北省高三8月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

(2)中設切點為(x0，x03－3x0)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數(shù)∴m＝－2x03＋6x02－6

然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數(shù)求導數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

(2)設切點為(x0，x03－3x0)，

∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

又切線過點A(2，m)

∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

∴m＝－2x03＋6x02－6

令g(x)＝－2x3＋6x2－6

則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

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