Question

如圖，已知長方體，直線與平面所成的角為，垂直于，為的中點.

（I）求異面直線與所成的角；

（II）求平面與平面所成的二面角（銳角）的大小；

（III）求點到平面的距離.

Answer 1

解法一：

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，AA₁所在的直線為z軸建立空間直角坐標系如圖。

由已知AB=2,AA₁=1可得A(0,0,0),B(2,0,0),F(1,0,1)。

又AD⊥平面AA₁B₁B，從而BD與平面AA₁B₁B所成的角為∠DB A=30°，

又AB=2，AE⊥BD，AE=1,AD=，

從而易得E(),D()

（I）∵,

    ∴

 即異面直線AE,BF所成的角為

（II）易知平面AA₁B的一個法向量m=(0,1,0)設是平面BDF的一個法向量，

由

取

∴

即平面與平面所成的二面角的大小（銳角）為

（III）點A到平面BDF的距離，即在平面BDF的法向量上的投影的絕對值，

所以距離

       

      

    所以點A到平面的距離為

解法二： (Ⅰ)連結B₁D₁，過F作B₁D₁的垂線，垂足為K，

         ∵BB₁與兩底面ABCD，A₁B₁C₁D₁都垂直，

         ∴

          又

因此  FK∥AE.

∴∠BFK 為異面直線BF與AE所成的角。

連結BK，由FK⊥面BDD₁B₁得FK⊥BK。

從而   △BKF為Rt△

在Rt △BKF₁和Rt△B₁D₁A1

由得

FK===

又  BF=

∴cos∠BFK=。

∴異面直線BF與AE所成的角為arcos。

（Ⅱ）由于DA⊥面AA₁B，由A作BF的垂線AG，垂足為G，連結DG，由三垂線定理知BG⊥DG。

 ∴∠AGD即為平面BDF與平面AA₁B所成二面角的平面角

   且∠DAG=90°，在平面AA₁B中，延長BF與AA₁交于點S。

∵F為A₁B₁的中點，A₁F∥AB。

∴A₁、F分別為SA、SB的中點。

即SA=2A₁A=2=AB。

∴Rt△BAS為等腰直角三角形，垂足G點實為斜邊SB的中點F，即F、G重合，

易得AG=AF=SB=，在Rt△BAS中，AD=，

∴tan∠AGD=

∴∠AGD=arctan

即平面BDF與平面AA1B所成二面角（銳角）的大小為arctan

（Ⅲ）由(Ⅱ)知平面AFD是平面BDF與平面AA₁B所成二面角的平面角所在的平面，

∴面AFD⊥面BDF。

在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，則AH即為點A到平面BDF的距離，

由  AH?DF=AD?AF，得

所以點A到平面BDF的距離為 。