Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）當時，函數(shù)取得極大值，求實數(shù)的值；
（Ⅱ）已知結論：若函數(shù)在區(qū)間內存在導數(shù)，則存在，使得. 試用這個結論證明：若函數(shù)（其中），則對任意，都有；
（Ⅲ）已知正數(shù)滿足，求證：對任意的實數(shù)，若時，都有.

Answer 1

（1）
（2）構造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),然后借助于函數(shù)的導數(shù)判定單調性，然后證明最小值大于零即可。而第三問中，在上一問的基礎上，運用結論放縮得到證明。

試題分析：（Ⅰ）由題設，函數(shù)的定義域為，且
所以，得，此時.
當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；
當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減.
函數(shù)在處取得極大值，故       …………………………4分
（Ⅱ）令，
則.
因為函數(shù)在區(qū)間上可導，則根據(jù)結論可知：存在
使得                      …………………………7分
又，
當時，，從而單調遞增，；
當時，，從而單調遞減，；
故對任意，都有         . …………………………9分
（Ⅲ），且，，
 
同理，      …………………………12分
由（Ⅱ）知對任意，都有，從而
．
…………………………14分
點評：解決該試題的關鍵是根據(jù)導數(shù)的符號，確定函數(shù)單調性，進而分析得到最值，證明不等式的成立。屬于中檔題 。