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如圖，橢圓的中心為原點O，離心率，一條準線的方程為。
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設動點P滿足：，其中M，N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為-。問：是否存在兩個定點F1，F2，使得|PF1|+|PF2|為定值？若存在，求F1，F2的坐標；若不存在，說明理由。
解：（1）由，
解得a=2，，b2=a2-c2=2
故橢圓的標準方程為
。
（2）設 P（x，y），M（x1，y1），N （x2，y2）
則由
得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2）=（x1+2x2，y1+2y2），
即x=x1+2x2，y =y1+2y2
因為點M，N在橢圓x2+2y2=4上，
所以
故

=20+4（x1x2+2y1y2）
設kOM，kON分別為直線OM，ON的斜率，
由題設條件知
因此x1x2+2y1y2=0，
所以x2+2y2=20
所以P點是橢圓上的點
設該橢圓的左、右焦點為F1，F2，
則由橢圓的定義|PF1|+|PF2| 為定值，
又因
因此兩焦點的坐標為。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，橢圓的中心為原點O，離心率e=
2
2
，一條準線的方程為x=2
2
．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設動點P滿足
OP
=
OM
+2
ON
，其中M，N是橢圓上的點．直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
．
問：是否存在兩個定點F1，F2，使得|PF1|+|PF2|為定值．若存在，求F1，F2的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，橢圓的中心為原點O，已知右準線l的方程為x=4，右焦點F到它的距離為2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設圓C經過點F，且被直線l截得的弦長為4，求使OC長最小時圓C的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•重慶）如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率e=
2
2
，過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點，|AA′|=4．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．求△PP'Q的面積S的最大值，并寫出對應的圓Q的標準方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•重慶）如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率e=
2
2
，過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點，|AA′|=4．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．若PQ⊥P'Q，求圓Q的標準方程．

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科目：高中數學 來源：2014屆河南安陽一中高二第一次階段測試數學試卷（奧數班）（解析版） 題型：解答題

如圖,設橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左右焦點分別為,線段的中點分別為,且△ 是面積為4的直角三角形.

(Ⅰ)求該橢圓的離心率和標準方程；

(Ⅱ)過做直線交橢圓于P,Q兩點,使,求直線的方程.

 

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