Question

已知函數(shù)f(x)＝xlnx．

⑴討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

⑵對于任意正實數(shù)x，不等式f(x)＞kx－恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

⑶是否存在最小的正常數(shù)m，使得：當a＞m時，對于任意正實數(shù)x，不等式f(a＋x)＜f(a)·e^x恒成立？給出你的結(jié)論，并說明結(jié)論的合理性．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)令，得x．

　　當x∈(0，)時，；當x∈()時，．

　　所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(3分)

　　(2)由于x＞0，所以．

　　構(gòu)造函數(shù)，則令，得．

　　當時，；當時，．

　　所以函數(shù)在點處取得最小值，即．

　　因此所求的k的取值范圍是．(7分)

　　(3)結(jié)論：這樣的最小正常數(shù)存在．　解釋如下：

　　．

　　構(gòu)造函數(shù)，則問題就是要求恒成立．(9分)

　　對于求導(dǎo)得．

　　令，則，顯然是減函數(shù)．

　　又，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，而，

　　，

　　．

　　所以函數(shù)在區(qū)間和上各有一個零點，令為和，并且有：在區(qū)間和上，即；在區(qū)間上，即．從而可知函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．，當時，；當時，．還有是函數(shù)的極大值，也是最大值．

　　題目要找的，理由是：

　　當時，對于任意非零正數(shù)，，而在上單調(diào)遞減，所以一定恒成立，即題目所要求的不等式恒成立，說明；

　　當時，取，顯然且，題目所要求的不等式不恒成立，說明不能比�。�

　　綜合可知，題目所要尋求的最小正常數(shù)就是，即存在最小正常數(shù)，當時，對于任意正實數(shù)，不等式恒成立．(12分)

　　(注意：對于和的存在性也可以如下處理：

　　令，即．作出基本函數(shù)和的圖像，借助于它們的圖像有兩個交點很容易知道方程有兩個正實數(shù)根和，且，(實際上)，可知函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．，當時，；當時，．還有是函數(shù)的極大值，也是最大值．)