Question

學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有3人，會(huì)跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人．設(shè)X為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且X＞0的概率P(X＞0)=

3

5

．
（1）求文娛隊(duì)的人數(shù)；
（2）從文娛隊(duì)中選出3人排練一個(gè)由1人唱歌2人跳舞的節(jié)目，有多少種挑選演員的方法？

Answer 1

分析：（1）設(shè)文娛隊(duì)共有n人，易得5≤n≤8，n∈N^*，進(jìn)而可得其中只會(huì)唱歌，只會(huì)跳舞，既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，根據(jù)題意P(X＞0)=

3

5

，易得n＜8，分別討論n=7、5≤n≤6兩種情況，可得n的值；
（2）由（1）的結(jié)論，文娛隊(duì)中只會(huì)唱歌的有1人，記為a，只會(huì)跳舞的有3人，記為b、c、d，既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有2人，記為e、f；分①若表演唱歌的一人是a，②表演唱歌的一人從e、f中選，兩種求解討論，分別計(jì)算該情況下的選法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）設(shè)文娛隊(duì)共有n人（5≤n≤8，n∈N^*），則其中只會(huì)唱歌的有（n-5）人，只會(huì)跳舞的有（n-3）人，既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有（8-n）人．
∵P(X＞0)=

3

5

≠0，∴n＜8．
若n=7，則P(X＞0)=P(X=1)=

C 1 1 C 1 6

C 2 7

=

6

21

=

2

7

≠

3

5

，
∴5≤n≤6．
此時(shí)，P(X＞0)=P(X=1)+P(X=2)=

C 1 8-n C 1 2n-8

C 2 n

+

C 2 8-n

C 2 n

=

3

5

，
即  

2(8-n)(2n-8)+(8-n)(7-n)

n(n-1)

=

3

5

，整理可得3n²-28n+60=0
解方程，得n=6，或n=

10

3

（舍）
所以，文娛隊(duì)共6人．
（2）由題意知，文娛隊(duì)中只會(huì)唱歌的有1人，記為a，只會(huì)跳舞的有3人，記為b、c、d，既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有2人，記為e、f；．
若表演唱歌的一人是a，則表演跳舞的2人從b、c、d、e、f中選，有C₅²種選法，
若表演唱歌的一人從e、f中選，則表演跳舞的2人從剩余會(huì)跳舞的4人中選，有C₂¹C₄²種選法，
故不同的選法共有C₁¹C₅²+C₂¹C₄²=22種．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率計(jì)算，排列、組合的應(yīng)用；解題的難點(diǎn)在于（1）中對(duì)P(X＞0)=

3

5

的理解及運(yùn)用．