Question

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，設(shè).討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明當(dāng).

 

Answer 1

（1）當(dāng)時，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

（2）見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，確定單調(diào)區(qū)間.

由于，當(dāng)時，.

所以，討論當(dāng)，即時，當(dāng)，即時，即得結(jié)論；

（2）構(gòu)造函數(shù)，由于導(dǎo)數(shù)，通過確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，達(dá)到解題目的.

由于，

所以令，再次利用導(dǎo)數(shù)加以研究，

當(dāng)時， 在上是減函數(shù)，

當(dāng)時， 在上是增函數(shù)，

又

得到當(dāng)時,恒有,即,

在上為減函數(shù)，由，得證.

（1），所以． 2分

當(dāng)時，，故有：

當(dāng)，即時，，；

當(dāng)，即時，，

令，得；令，得， 5分

綜上，當(dāng)時，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)． 6分

（2）設(shè)，則，

令，則， 8分

因為，所以當(dāng)時，；在上是減函數(shù)，

當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，

又所以當(dāng)時,恒有,即,

所以在上為減函數(shù)，所以，

即當(dāng)時，. 13分

考點：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值、證明不等式，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想.