Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為4，F(xiàn)₁F₂分別是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，直線y=x與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，△AF₁F₂的面積為2

6

，點(diǎn)P（x₀，y₀），是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)w．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若∠F₁PF₂為鈍角，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x₀的取值范圍；
（3）求

3

PF₁+

2

PA的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意得b=2，①，設(shè)A（x，x）（x＞0），則

x2

a2

+

x2

b2

=1，②結(jié)合△AF₁F₂的面積為2

6

，有cx=2

6

③，由①②③得a，最后寫出橢圓C的方程；
（2）設(shè)p（x，y），根據(jù)橢圓方程求得兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)∠F₁PF₂是鈍角推斷出PF₂¹+PF₂²＜F₁F₂²代入p坐標(biāo)求得x和y的不等式關(guān)系，求得x的范圍．
（3）過點(diǎn)P向橢圓右準(zhǔn)線做垂線，垂足為B，根據(jù)橢圓方程求得離心率和準(zhǔn)線方程，進(jìn)而根據(jù)橢圓的第二定義，進(jìn)而可判定當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，從而求得答案．

解答：解：（1）∵2b=4，∴b=2，①
由題意，設(shè)A（x，x）（x＞0），則

x2

a2

+

x2

b2

=1，②
△AF₁F₂的面積為2

6

，∴cx=2

6

③，
由①②③得：a=2

3

，橢圓C的方程為：

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)p（x，y），則 F₁（-2

2

，0），F(xiàn)₂（2

2

，0），
且∠F₁PF₂是鈍角
?PF₁²+PF₂²＜F₁F₂²?（x+2

2

）²+y²+（x-2

2

）²+y²＜32
?x²+y²＜8?-

3

＜x＜

3

．
（3）橢圓

x2

12

+

y2

4

=1與y=x（x＞0）解得A（

3

，

3

），
自P作橢圓左準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，∵

PF 1

PH

=

c

a

=

2

3

，
左準(zhǔn)線方程：x=-3

2

，
∴

3

PF₁+

2

PA即為：

2

（PH+PA）
當(dāng)A，P，H三點(diǎn)共線時(shí)，其和最小，
|PA|+|PB|的最小值為|AB|，
因點(diǎn)A到左準(zhǔn)線的距離為：

3

+3

2

，
∴

3

PF₁+

2

PA的最小值

2

（

3

+3

2

）=6+

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和解不等式，∠F₁PF₂是鈍角推斷出PF₂¹+PF₂²＜F₁F₂²，是解題關(guān)鍵，本題還考查學(xué)生的作圖能力和應(yīng)用橢圓的第一定義和第二定義來求最值的能力．屬基礎(chǔ)題．