已知函數(shù)，其中常數(shù)a > 0．

(1) 當a = 4時，證明函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)；

(2) 求函數(shù)f(x)的最小值．

 

【答案】

解：(1) 當時，，利用“定義法”證明。

(2)

【解析】

試題分析：

思路分析：(1) 當時，，利用“定義法”證明。執(zhí)行“設、算、證、結”。

 (2)應用均值定理及“對號函數(shù)”的單調性，分，即和，即兩種情況討論得到：。

解：(1) 當時，，

任取0<x1<x2≤2，則f(x1)–f(x2)=

因為0<x1<x2≤2，所以f(x1)–f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)

所以函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)；

(2)，當且僅當時等號成立，

當，即時，的最小值為，

當，即時，在上單調遞減，

所以當時，取得最小值為，

綜上所述：

考點：函數(shù)的單調性，“對號函數(shù)的性質”，均值定理的應用。

點評：中檔題，本題綜合性較強，研究函數(shù)的單調性，可以利用導數(shù)，也可以利用常見函數(shù)的單調性。應用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”。

 

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年福建省莆田一中高三（上）期末數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)（其中常數(shù)a，b∈R），．
（Ⅰ）當a=1時，若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求f（x）的極值點；
（Ⅱ）若a≠0，求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅲ）當時，求函數(shù)g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在滿足條件的實數(shù)a，使得對任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年上海市金山區(qū)高三上學期期末考試數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

已知函數(shù)，其中常數(shù)a > 0．

(1) 當a = 4時，證明函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)；

(2) 求函數(shù)f(x)的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河南省開封市龍亭區(qū)河南大學附屬中學高一（上）期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)（其中常數(shù)a∈R）
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調性，并加以證明；
（2）如果f（x）是奇函數(shù)，求實數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年高考試題（重慶卷）解析版（文） 題型：解答題

 

已知函數(shù)（其中常數(shù)a,b∈R）,是奇函數(shù).

（Ⅰ）求的表達式;

（Ⅱ）討論的單調性，并求在區(qū)間上的最大值和最小值.

 

 

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