已知
a
，
b
是非零向量，t為實數(shù)，設
u
=
a
+
tb
．
（1）當|
u
|取最小值時，求實數(shù)t的值；
（2）當|
u
|取最小值時，求證
b
⊥（
a
+
b
）．
分析：（1）要求|
u
|取最小值，我們可以根據(jù)
u
=
a
+
tb
，計算|
u
|2，然后構造一個關于t的函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的辦法，進行求解．
（2）要求證
b
⊥（
a
+
b
），可根據(jù)向量垂直的充條條件，判斷
b
•（
a
+
b
）=0．
解答：解：（1）解：|
u
|2=
a
2+2
a
•
b
t+（t2）
b
2
=|
b
|2t2+2
a
•
b
t+|
a
|2
當|
u
|2有最小值時，
|
u
|有最小值．
設f（t）=（
b
t）2+2
a
•
b
t+
a
2，
f'（t）=2
b
2t+2
a
b
=0時，
|
u
|有最小值
此時t=-
a
•
b
|
b
|2

（2）證明：∵
b
•（
a
+t
b
）
=
a
•
b
+（-
a
•
b
|
b
|2
•
b
2）
=
a
•
b
-
a
•
b

=0
∴
b
與
a
+t
b
垂直．
點評：判斷兩個向量的關系（平行或垂直）或是已知兩個向量的關系求未知參數(shù)的值，要熟練掌握向量平行（共線）及垂直的坐標運算法則，即“兩個向量若平行，交叉相乘差為0，兩個向量若垂直，對應相乘和為0”．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
，
b
是非零向量，滿足
a
=λ
b
，
b
=λ
a
（λ∈R），則λ=（　　）
A、-1B、±1C、0D、0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
，
b
是非零向量，且
a
，
b
夾角為
π
3
，則向量
p
=
a
丨
a
丨
+
b
丨
b
丨
的模為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
，
b
是非零向量，且滿足（
a
-2
b
）⊥
a
，（
b
-2
a
）⊥
b
，則
a
與
b
的夾角是
60
60
°．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
、
b
是非零向量，若|
a
-
b
|=|
a
|-|
b
|，則
a
，
b
應滿足條件
 
．

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