（2013•深圳一模）已知兩點(diǎn)F1（-1，0）及F2（1，0），點(diǎn)P在以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線l上的兩點(diǎn)，且F1M⊥l，F(xiàn)2N⊥l．求四邊形F1MNF2面積S的最大值．
分析：（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，c=1．再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|構(gòu)成等差數(shù)列，即可得到a，利用b2=a2-c2得到a即可得到橢圓的方程；
（2）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程3x2+4y2=12中，得到關(guān)于x的一元二次方程，由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，△=0，即可得到m，k的關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到d1=|F1M|，d2=|F2N|．
法一：當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則|d1-d2|=|MN|×|tanθ|，即可得到四邊形F1MNF2面積S的表達(dá)式，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出S的最大值；
法二：利用d1及d2表示出
d
2
1
+
d
2
2
及d1d2，進(jìn)而得到S2=
1
k2+1
(d12+d22+2d1d2)=
16k2+12
(k2+1)2
，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出其最大值．
解答：解：（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1．
∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|構(gòu)成等差數(shù)列，∴2a=|PF1|+|PF|2=2|F1F2|=4，a=2．
又∵c=1，∴b2=3．∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．                
由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，△=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，
化簡(jiǎn)得：m2=4k2+3．                          
設(shè)d1=|F1M|=
|-k+m|
k2+1
，d2=|F2N|=
|k+m|
k2+1
，
法一：當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l的傾斜角為θ，
則|d1-d2|=|MN|×|tanθ|，
∴|MN|=|
d1-d2
k
|，S=
1
2
|
d1-d2
k
|(d1+d2)=|
d12-d22
2k
|=
2|m|
k2+1
=
2|m|
m2-3
4
+1
=
8
|m|+
1
|m|
，
∵m2=4k2+3，∴當(dāng)k≠0時(shí)，|m|＞
3
，|m|+
1
|m|
＞
3
+
1
3
=
4
3
3
，S＜2
3
．
當(dāng)k=0時(shí)，四邊形F1MNF2是矩形，S=2
3
．   
所以四邊形F1MNF2面積S的最大值為2
3
．    
法二：∵d12+d22=(
|-k+m|
k2+1
)2+(
|k+m|
k2+1
)2=
2(m2+k2)
k2+1
=
2(5k2+3)
k2+1
，d1d2=
|-k+m|
k2+1
•
|k+m|
k2+1
=
|m2-k2|
k2+1
=
3k2+3
k2+1
=3．
∴|MN|=
F1F22-(d1-d2)2
=
4-(d12+d22-2d1d2)
=
2
k2+1
．
四邊形F1MNF2的面積S=
1
2
|MN|(d1+d2)=
1
k2+1
(d1+d2)，
S2=
1
k2+1
(d12+d22+2d1d2)=
16k2+12
(k2+1)2
=16-4(
1
k2+1
-2)2≤12．  
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，S2=12，S=2
3
，故Smax=2
3
．
所以四邊形F1MNF2的面積S的最大值為2
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、等差數(shù)列、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想．
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（1）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=e，b=4時(shí)，求整數(shù)k的值，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間（k，k+1）上存在零點(diǎn)；
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x=
t
y=t+1.
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（2，5）
（2，5）
．

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πx
6
+
π
3
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OA
•
OB
的值；
（2）設(shè)點(diǎn)A、B分別在角α、β的終邊上，求tan（α-2β）的值．

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an+12
an
（其中p為非零常數(shù)，n∈N*）．
（1）判斷數(shù)列{
an+1
an
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（2）求an；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，令bn=
nan+2
an
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