Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²﹣3x（a，b∈R）在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對于區(qū)間[﹣2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤c，求實數(shù)c的最小值；
（3）若過點M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f'（x）=3ax²+2bx﹣3．
根據(jù)題意，得 
即 
解得 
所以f（x）=x³﹣3x．
（2）令f'（x）=0，即3x²﹣3=0．得x=±1．
當(dāng)x∈（﹣∞，﹣1）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（﹣1，1）時，f′（x）<0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞減；
因為f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，
所以當(dāng)x∈[﹣2，2]時，f（x）_max=2，f（x）_min=﹣2．
則對于區(qū)間[﹣2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有
|f（x₁）﹣f（x₂）|≤|f（x）_max﹣f（x）_min|=4，
所以c≥4．
所以c的最小值為4．
（3）因為點M（2，m）（m≠2）不在曲線y=f（x）上，
所以可設(shè)切點為（x₀，y₀）．則
y₀=x₀³﹣3x₀．
因為f'（x₀）=3x₀²﹣3，所以切線的斜率為3x₀²﹣3．
則3x₀²﹣3= ，
即2x₀³﹣6x₀²+6+m=0．
因為過點M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，
所以方程2x₀³﹣6x₀²+6+m=0有三個不同的實數(shù)解．
所以函數(shù)g（x）=2x³﹣6x²+6+m有三個不同的零點．
則g'（x）=6x²﹣12x．
令g'（x）=0，則x=0或x=2．
當(dāng)x∈（﹣∞，0）時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，2）時，g′（x）<0，函數(shù)g（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增；
所以，函數(shù)g（x）在x=0處取極大值，在x=2處取極小值，
有方程與函數(shù)的關(guān)系知要滿足題意必須滿足：  ，
即 ，
解得﹣6＜m＜2．