(2013•海淀區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=sin
π
2
x,任取t∈R,定義集合:At={y|y=f(x),點P(t,f(t)),Q(x,f(x))滿足|PQ|≤
2
}.設(shè)Mt,mt分別表示集合At中元素的最大值和最小值,記h(t)=Mt-mt.則
(1)函數(shù)h(t)的最大值是
2
2
;
(2)函數(shù)h(t)的單調(diào)遞增區(qū)間為
(2k-1,2k),k∈Z
(2k-1,2k),k∈Z
分析:(1)理清At={y|y=f(x),點P(t,f(t)),Q(x,f(x))滿足|PQ|≤
2
}的含義為:表示以P點為圓心,
2
為半徑的圓及其內(nèi)部函數(shù)y=sin
πx
2
的圖象上所有的點的縱坐標的集合,再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值可求得Mt,mt,從而可求得函數(shù)h(t))=Mt-mt的最大值;
(1)由(1)結(jié)合正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性即可求得函數(shù)h(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.
解答:解:At={y|y=f(x),點P(t,f(t)),Q(x,f(x))滿足|PQ|≤
2
}表示以P點為圓心,
2
為半徑的圓及其內(nèi)部函數(shù)y=sin
πx
2
的圖象上所有的點的縱坐標的集合,

∵f(-2)=f(0)=f(2)=0,f(1)=1,f(-1)=-1,設(shè)O(0,0),A(1,1),B(2,0),則AO=AB=
2

∴Mt=
1,4k≤t≤4k+2(k∈Z)
f(t)+
[2-(x0-t)2]
,4k-2≤t<4k(k∈Z)
,
其中x0是最高點Q的橫坐標,
同理,mt=
-1,4k-2≤t≤4k(k∈Z)
f(t)-
[2-(x1-t)2]
,4k≤t<4k+2(k∈Z)
;
其中x1是最低點Q的橫坐標.
∴函數(shù)h(t)的最大值是2(t=4k或4k+2時取得),
單調(diào)增區(qū)間是(2k-1,2k).
點評:本題考查函數(shù)的值域,著重考查抽象函數(shù)的理解與應(yīng)用,明確At={y|y=f(x),點P(t,f(t)),Q(x,f(x))滿足|PQ|≤√2}的含義是難點,也是解決問題的關(guān)鍵,考查抽象思維能力與綜合運算能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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2

(Ⅰ)求證:BD⊥PC;
(Ⅱ)求證:MN∥平面PDC;
(Ⅲ)求二面角A-PC-B的余弦值.

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(2013•海淀區(qū)一模)在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點M恰好是AC中點,又∠CAD=30°,PA=AB=4,點N在線段PB上,且
PN
NB
=
1
3

(Ⅰ)求證:BD⊥PC;
(Ⅱ)求證:MN∥平面PDC;
(Ⅲ)設(shè)平面PAB∩平面PCD=l,試問直線l是否與直線CD平行,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•海淀區(qū)一模)函數(shù)f(x)=
13
x3-kx,其中實數(shù)k為常數(shù).
(I) 當k=4時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II) 若曲線y=f(x)與直線y=k只有一個交點,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•海淀區(qū)一模)已知圓M:(x-
2
2+y2=
7
3
,若橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右頂點為圓M的圓心,離心率為
2
2

(I)求橢圓C的方程;
(II)已知直線l:y=kx,若直線l與橢圓C分別交于A,B兩點,與圓M分別交于G,H兩點(其中點G在線段AB上),且|AG|=|BH|,求k的值.

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