Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足bn=an•an+1•an+2(n∈N+)，Sn為{bn}的前n項(xiàng)和．
（1）若{a_n}的公差等于首項(xiàng)a₁，證明對(duì)于任意正整數(shù)n都有Sn=

bnan+3

4d

；
（2）若{a_n}中滿足3a₅=8a₁₂＞0，試問n多大時(shí)，S_n取得最大值？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，原命題成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，Sk=

bkak+3

4d

成立，利用S_k+1=S_k+b_k+1，可證當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立
（2）根據(jù)3a₅=8a₁₂，可得a16=a5+11d=-

1

5

d＞0，a17=a5+12d=-

56

5

d+12d=

4

5

d＜0，從而b₁＞b₂＞…b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈…，b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0，進(jìn)而可知S₁₄＞S₁₃＞…＞S₁，S₁₄＞S₁₅，S₁₅＜S₁₆，由此可得S_n中S₁₆最大．

解答：（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，S1=b1，

b1a4

4d

=

b1(a1+3d)

4d

=b1，∴原命題成立
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，Sk=

bkak+3

4d

成立
則Sk+1=Sk+bk+1=

bkak+3+bk+1•4d

4d

=

ak•ak+1ak+2ak+3+bk+1•4d

4d

=

akbk+1+bk+14d

4d

=

bk+1(ak+4d)

4d

=

bk+1ak+4

4d

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立
故對(duì)于任意正整數(shù)n都有Sn=

bnan+3

4d

；（6分）
（2）解：∵3a₅=8a₁₂，∴3a5=8(a5+7d)  ，  ∴a5=-

56

5

d
∴a16=a5+11d=-

1

5

d＞0，a17=a5+12d=-

56

5

d+12d=

4

5

d＜0
∴b₁＞b₂＞…b₁₄＞0＞b₁₇＞b₁₈…，b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇＜0，b₁₆=a₁₆a₁₇a₁₈＞0
∴S₁₄＞S₁₃＞…＞S₁，S₁₄＞S₁₅，S₁₅＜S₁₆
又a15=a5+10d=-

6

5

d，a18=a5+13d=

9

5

d
∴a₁₅＜|a₁₈|，∴|b₁₅|＜b₁₆，b₁₅+b₁₆＞0
∴S₁₆＞S₁₄
故S_n中S₁₆最大（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明，考查數(shù)列的求和，考查函數(shù)思想，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是關(guān)鍵．