Question

設函數；（a∈R）．
（1）當a=0時，求f（x）的極值．（2）當a≠0時，求f（x）的單調區(qū)間．（3）當a=2時，對于任意正整數n，在區(qū)間上總存在m+4個數a₁，a₂，a₃，…，a_m，a_m+1，a_m+2，a_m+3，a_m+4，使得f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立，試問：正整數m是否有最大值？若有求其最大值；否則，說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意，知f（x）的定義域為（0，+∞）．
當a=0時，，．
令f'（x）=0，解得．
當時，f'（x）＜0；當時，f'（x）＞0．
又，所以f（x）的極小值為2-2ln2，無極大值．
（2）=．
令f'（x）=0，解得．
若a＞0，令f'（x）＜0，得；令f'（x）＞0，得．
若a＜0，
①當a＜-2時，，令f'（x）＜0，得或；
令f'（x）＞0，得．
②當a=-2時，．
③當-2＜a＜0時，得，
令f'（x）＜0，得或；令f'（x）＞0，得．
綜上所述，當a＞0時，f（x）的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為．
當a＜-2時，f（x）的遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為．
當a=-2時，f（x）遞減區(qū)間為（0，+∞）．
當-2＜a＜0時，f（x）的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為．
（3）當a=2時，，
由，知時，f'（x）≥0.，．
依題意得：對一切正整數成立．
令，則k≥8（當且僅當n=1時取等號）．
又f（k）在區(qū)間單調遞增，得，
故，又m為正整數，得m≤32，
當m=32時，存在，a_m+1=a_m+2=a_m+3=a_m+4=8，對所有n滿足條件．所以，正整數m的最大值為32．
分析：（1）先求導函數為0的根，在看根左右兩側的符號，若左正右負，原函數取極大值；若左負右正，原函數取極小值．
（2）先求導函數，再求導函數為0的根，利用導函數大于0的區(qū)間為原函數的增區(qū)間，導函數小于0的區(qū)間為原函數的減區(qū)間來求單調區(qū)間即可．
（3）先判斷出原函數在區(qū)間上的單調性，再利用單調性把f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_m）＜f（a_m+1）+f（a_m+2）+f（a_m+3）+f（a_m+4）成立轉化為對一切正整數成立即可求出正整數m是否有最大值．
點評：題考查利用導函數來研究函數的極值．在利用導函數來研究函數的極值時，分三步①求導函數，②求導函數為0的根，③判斷根左右兩側的符號，若左正右負，原函數取極大值；若左負右正，原函數取極小值．