【題目】已知函數(shù)f(x)對任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,且當(dāng)x>0時,f(x)>1
(1)判斷并證明f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(4)=3,解不等式f(3m2﹣m﹣2)<2.

【答案】
(1)解:f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,

令a=b=0,

∴f(0)=f(0)+f(0)﹣1,

∴f(0)=1,

令a=x,b=﹣x,

∴f(0)=f(x)+f(﹣x)﹣1,

∴f(﹣x)=2﹣f(x),

令x1<x2,則x2﹣x1>0,

∴f(x2﹣x1)=f(x2)+f(﹣x1)﹣1

=f(x2)+2﹣f(x1)﹣1>1,

∴f(x2)>f(x1),

故函數(shù)在R上單調(diào)遞增;


(2)解:f(4)=2f(2)﹣1=3,

∴f(2)=2,

∴f(3m2﹣m﹣2)<f(2),

∴3m2﹣m﹣2<2,

∴﹣1<m<


【解析】(1)利用特殊值方法求出f(0)=1,和換元思想令a=x,b=﹣x,得出f(﹣x)=2﹣f(x),利用定義法判定函數(shù)的單調(diào)性;(2)根據(jù)定義得出f(2)=2,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

練習(xí)冊系列答案
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D.xA>xB , A比B成績穩(wěn)定

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