Question

已知函數(shù)（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性、并證明；
（Ⅲ）求使不等式f（x）＞0成立的x的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數(shù)（a＞0，且a≠1），可得＞0，即 （1+x）（1-x）＞0，解得-1＜x＜1，
故函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）．
（Ⅱ）由于函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱，且f（-x）=log_a=-log_a=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅲ）由不等式f（x）＞0可得，當a＞1時，＞1，即 ，解得0＜x＜1．
當1＞a＞0時，0＜＜1，即 ，即 ，解得-1＜x＜0．
綜上可得，當a＞1時，不等式的解集為{x|0＜x＜1}； 當1＞a＞0時，不等式的解集為{x|-1＜x＜0}．
分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的解析式可得＞0，即 （1+x）（1-x）＞0，由此解得x的范圍，即可得到函數(shù)f（x）的定義域．
（Ⅱ）由于函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且f（-x）=-f（x），根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義得出結(jié)論．
（Ⅲ）由不等式f（x）＞0可得，當a＞1時，由＞1，求得不等式的解集．當1＞a＞0時，0＜＜1，即 ，解此不等式組求得不等式的解集，
綜合可得結(jié)論．
點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)應用，分式不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．