Question

如圖，現(xiàn)有一塊半徑為2m，圓心角為90°的扇形鐵皮AOB，欲從其中裁剪出一塊內(nèi)接五邊形
ONPQR，使點(diǎn)P在AB弧上，點(diǎn)M，N分別在半徑OA和OB上，四邊形PMON是矩形，點(diǎn)Q在弧AP上，R點(diǎn)在線段AM上，四邊形PQRM是直角梯形．現(xiàn)有如下裁剪方案：先使矩形PMON的面積達(dá)到最大，在此前提下，再使直角梯形PQRM的面積也達(dá)到最大．
（Ⅰ）設(shè)∠BOP=θ，當(dāng)矩形PMON的面積最大時，求θ的值；
（Ⅱ）求按這種裁剪方法的原材料利用率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)∠BOP=θ，，則PM=2cosθ，PN=2sinθ，從而S_PMON=PM•PN=2sin2θ，由此可求當(dāng)矩形PMON的面積最大時，θ的值；
（Ⅱ）過Q點(diǎn)作QS⊥OB，垂足為S，連接OQ，設(shè)，從而可得（2sinα=2sinαcosα+（sinα-cosα）-1，利用換元法t=sinα-cosα=，可得=-，從而可求直角梯形PQRM的面積的最大值，由此可求原材料利用率．
解答：解：（Ⅰ）先求矩形PMON面積的最大值：
設(shè)∠BOP=θ，，則PM=2cosθ，PN=2sinθ，
∴S_PMON=PM•PN=2sin2θ，
∴當(dāng)2θ=，即θ=時，S_max=2
此時，PM=MO=，θ=  …6分
（Ⅱ）過Q點(diǎn)作QS⊥OB，垂足為S，連接OQ，設(shè)
在Rt△QOS中，有QS=2sinα，OS=2cosα，
則RQ=2cosα，RM=2sinα，
∴（2sinα=2sinαcosα+（sinα-cosα）-1                 …8分
令t=sinα-cosα=，
∵，∴t∈（0，1），
此時，2sinαcosα=1-t²，則=-，
當(dāng)t=時，直角梯形PQRM的面積的最大值為                …10分
∴方案裁剪出內(nèi)接五邊形ONPQR的面積最大值為m²，即利用率=…12分．
點(diǎn)評：本題考查利用三角知識解決實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是引入輔助角，構(gòu)建三角函數(shù)模型，利用三角函數(shù)知識進(jìn)行解決，綜合性強(qiáng)．