Question

如圖，在正三棱錐P-ABC中，點(diǎn)O為底面中心，點(diǎn)E在PA上，且AE=2EP
（1）求證：OE∥平面PBC
（2）若OE⊥PA，求二面角P-AB-C的大小
（3）在（2）的條件下，若AB=3，求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）連接AO延長(zhǎng)交BC于M，連接PM，O是三角形的重心，可知AO=2OM，又AE=2EP，由三角形中位線可知OE∥PM，最后由線面平行的判定定理證明．
（2）取AB的中點(diǎn)H，連接CH，PH，由正三棱錐的幾何特征，我們可得∠PHO即為二面角P-AB-C的平面角，根據(jù)AE=2EP，OE⊥PA，解三角形即可得到二面角P-AB-C的大小；
（3）證得BC⊥平面PAM后，可將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為：三棱錐B-PAM和三棱錐C-PAM體積之和．進(jìn)而得到答案．

解答：解：（1）證明：連接Ao延長(zhǎng)交BC于M，連接PM，O是三角形的重心，
∴AO=2OM，又AE=2EP
∴OE∥PM
∴OE∥平面PBC
（2）取AB的中點(diǎn)H，連接CH，PH，
由正三棱錐的性質(zhì)，可得PH⊥AB，CH⊥AB，且O在CH上，
∴∠PHO即為二面角P-AB-C的平面角
由OE⊥PA，OE∥PM
∴PA⊥PH，
又PB=PC，AB=AC，M為BC中點(diǎn)
∴BC⊥PM，BC⊥AM
∴BC⊥平面PMA
又∵AP?平面PMA
∴BC⊥AP，
∵PM∩BC=M
∴PA⊥平面PBC
由正三棱錐的三個(gè)側(cè)面均為正三角形，
設(shè)PA=a
則AB=

2

a，PH=

1

2

AB=

2

2

a，OH=

6

6

a
∴cos∠BHO=

OH

PH

=

3

3

∴二面角P-AB-C的大小為arccos

3

3

（3）由（1）知OE∥PM，OE⊥PA
∴PM⊥PA
在正三棱錐P-ABC中，M為中點(diǎn)
∴AM⊥BC
∴VP-ABC=

1

3

 sPAM•BC=

9 2

8

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二面角的平面角及其求法，直線與平面平行的判定，棱錐的體積，其中常熟掌握立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及判定定理，及體積求解中的轉(zhuǎn)化思想和割補(bǔ)法思想是解答本題的關(guān)鍵．，屬中檔題