Question

已知函數(shù). 
（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若在上存在一點，使得＜成立，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）曲線在點處的切線方程為；（Ⅱ）當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增．（Ⅲ）所求的范圍是：或．

試題分析：（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，對函數(shù)求導(dǎo)得，令，求出，得切線斜率，由點斜式可寫出曲線在處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先確定定義域，可通過單調(diào)性的定義，或求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間，由于，含有對數(shù)函數(shù)，可通過求導(dǎo)來確定單調(diào)區(qū)間，對函數(shù)求導(dǎo)得，由此需對參數(shù)討論，有范圍判斷導(dǎo)數(shù)的符號，從而得單調(diào)性；（Ⅲ）若在上存在一點，使得＜成立，既不等式＜有解，即在上存在一點，使得，即函數(shù)在上的最小值小于零，結(jié)合（Ⅱ），分別討論它的最小值情況，從而可求出的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）的定義域為，
當時，，，
，,切點，斜率
∴曲線在點處的切線方程為
（Ⅱ），
  
①當時，即時，在上，在上，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
②當，即時，在上，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增．
（Ⅲ）在上存在一點，使得成立，即在上存在一點，使得，即函數(shù)在上的最小值小于零．
由（Ⅱ）可知：①當，即時， 在上單調(diào)遞減，
所以的最小值為，由可得，
因為，所以；
②當，即時， 在上單調(diào)遞增，
所以最小值為，由可得；
③當，即時，可得最小值為，
因為，所以，
故此時不存在使成立．
綜上可得所求的范圍是：或．