Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線y＝x ²－x－10與x軸的交點為A，與y軸的交點為點B，過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連結AC．現(xiàn)有兩動點P，Q分別從O，C兩點同時出發(fā)，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動．線段OC，PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于點E，射線QE交x軸于點F．設動點P，Q移動的時間為t(單位：秒)

（1）求A，B，C三點的坐標和拋物線的頂點坐標；

（2）當t為何值時，四邊形PQCA為平行四邊形？請寫出計算過程；

（3）當t∈（0，）時，△PQF的面積是否總為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由；

（4）當t為何值時，△PQF為等腰三角形？請寫出解答過程．

 

Answer 1

（1）在y＝x ²－x－10中，令y＝0，得x ²－8x－180＝0．

解得x＝－10或x＝18，∴A(18，0)．········································ 1分

在y＝x ²－x－10中，令x＝0，得y＝－10．

∴B(0，－10)．·························· 2分

∵BC∥x軸，∴點C的縱坐標為－10．

由－10＝x ²－x－10得x＝0或x＝8．

∴C(8，－10)．························· 3分

∵y＝x ²－x－10＝(x－4)²－

∴拋物線的頂點坐標為(4，－)．············································· 4分

（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可．

∵QC＝t，PA＝18－4t，∴t＝18－4t．

解得t＝．······································································· 6分

（3）設點P運動了t秒，則OP＝4t，QC＝t，且0＜t＜4.5，說明點P在線段OA上，且不與點O，A重合．

∵QC∥OP，     ∴＝＝＝＝．

同理QC∥AF，∴＝＝＝，即＝．

∴AF＝4t＝OP．

∴PF＝PA＋AF＝PA＋OP＝18．················································ 8分

∴S_△PQF ＝PF·OB＝×18×10＝90

∴△PQF的面積總為定值90．·················································· 9分

（4）設點P運動了t秒，則P(4t，0)，F(18＋4t，0)，Q(8－t，－10)  t∈（0，4.5）．

∴PQ ²＝(4t－8＋t)²＋10 ²＝(5t－8)²＋100

FQ ²＝(18＋4t－8＋t)²＋10 ²＝(5t＋10)²＋100．

①若FP＝FQ，則18 ²＝(5t＋10)²＋100．

即25(t＋2)²＝224，(t＋2)²＝．

∵0≤t≤4.5，∴2≤t＋2≤6.5，∴t＋2＝＝．

∴t＝－2．································································· 11分

②若QP＝QF，則(5t－8)²＋100＝(5t＋10)²＋100．

即(5t－8)²＝(5t＋10)²，無0≤t≤4.5的t滿足．························· 12分

③若PQ＝PF，則(5t－8)²＋100＝18 ²．

即(5t－8)²＝224，由于≈15，又0≤5t≤22.5，

∴－8≤5t－8≤14.5，而14.5 ²＝()²＝＜224．

故無0≤t≤4.5的t滿足此方程．············································· 13分

注：也可解出t＝＜0或t＝＞4.5均不合題意，

故無0≤t≤4.5的t滿足此方程．

綜上所述，當t＝－2時，△PQF為等腰三角形．··················· 14分