精英家教網(wǎng)如圖,已知圓G:(x-2)2+y2=r2是橢圓
x216
+y2=1
的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓,其中A為橢圓的左頂點(diǎn),
(1)求圓G的半徑r;
(2)過點(diǎn)M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F(xiàn)兩點(diǎn),證明:直線EF與圓G相切.
分析:(1)可取BC⊥X軸時(shí)來研究,則可設(shè)B(2+r,y0),過圓心G作GD⊥AB于D,BC交長軸于H由
GD
AD
=
HB
AH
y0=
r
6+r
6-r
,再由點(diǎn)B(2+r,y0)在橢圓上,建立關(guān)于r的方程求解.
(2)設(shè)過點(diǎn)M(0,1)與圓相切的直線方程為:y-1=kx,由圓心到直線的距離等于半徑求k1=
-9+
41
16
,k2=
-9-
41
16
,與橢圓方程聯(lián)立,表示出E,F(xiàn)和坐標(biāo),從而得到EF所在的直線的方程,再探討圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系.
解答:解:(1)設(shè)B(2+r,y0),過圓心G作GD⊥AB于D,BC交長軸于H
GD
AD
=
HB
AH
r
36-r2
=
y0
6+r

y0=
r
6+r
6-r
(1)
而點(diǎn)B(2+r,y0)在橢圓上,y02=1-
(2+r)2
16
=
12-4r-r2
16
=-
(r-2)(r+6)
16
(2)
由(1)、(2)式得15r2+8r-12=0,
解得r=
2
3
r=-
6
5
(舍去)
(2)設(shè)過點(diǎn)M(0,1)與圓(x-2)2+y2=
4
9
相切的直線方程為:y-1=kx(3)
2
3
=
|2k+1|
1+k2
,即32k2+36k+5=0(4)
解得k1=
-9+
41
16
,k2=
-9-
41
16

將(3)代入
x2
16
+y2=1
得(16k2+1)x2+32kx=0,
則異于零的解為x=-
32k
16k2+1

設(shè)F(x1,k1x1+1),E(x2,k2x2+1),
x1=-
32k1
16k12+1
x2=-
32k2
16k22+1

則直線FE的斜率為:kEF=
k2x2-k1x1
x2-x1
=
k1+k2
1-16k1k2
=
3
4

于是直線FE的方程為:y+
32k12
16k12+1
-1=
3
4
(x+
32k1
16k12+1
)

y=
3
4
x-
7
3

則圓心(2,0)到直線FE的距離d=
|
3
2
-
7
3
|
1+
9
16
=
2
3

故結(jié)論成立.
點(diǎn)評:本題主要是通過圓和橢圓來考查直線和圓,直線和橢圓的位置關(guān)系.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知圓G:(x-2)2+y2=r2是橢圓數(shù)學(xué)公式的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓,其中A為橢圓的左頂點(diǎn),
(1)求圓G的半徑r;
(2)過點(diǎn)M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F(xiàn)兩點(diǎn),證明:直線EF與圓G相切.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:0110 月考題 題型:解答題

如圖,已知圓G:(x-2)2+y2=r2是橢圓的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓, 其中A為橢圓的左頂點(diǎn)。
(1)求圓G的半徑r;
(2)過點(diǎn)M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F(xiàn)兩點(diǎn),判斷直線EF與圓G的位置關(guān)系并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年遼寧省沈陽二中等重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高考預(yù)測數(shù)學(xué)試卷04(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知圓G:(x-2)2+y2=r2是橢圓的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓,其中A為橢圓的左頂點(diǎn),
(1)求圓G的半徑r;
(2)過點(diǎn)M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F(xiàn)兩點(diǎn),證明:直線EF與圓G相切.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009年江西省高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知圓G:(x-2)2+y2=r2是橢圓的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓,其中A為橢圓的左頂點(diǎn),
(1)求圓G的半徑r;
(2)過點(diǎn)M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F(xiàn)兩點(diǎn),證明:直線EF與圓G相切.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案