Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=

π

4

，PA⊥底面ABCD，PA=2，M為PA的中點，N為BC的中點．
（Ⅰ）證明：直線MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PD的中點E，由M為PA的中點，N為BC的中點，能夠?qū)С鏊倪呅蜯NCE是平行四邊形，由此能夠證明MN∥平面PCD．
（Ⅱ）作AF⊥AD，交BC于F，分別以AF，AD，AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能夠證明二面角A-PD-C的大�。�

解答：（Ⅰ）證明：取PD的中點E，
∵M為PA的中點，N為BC的中點，
∴ME

∥

.

1

2

AD，NC

∥

.

1

2

AD，
∴ME

∥

.

NC，
∴四邊形MNCE是平行四邊形，
∴MN∥EC，
∵MN?平面PCD，EC?平面PCD，
∴MN∥平面PCD．
（Ⅱ）解：作AF⊥AD，交BC于F，
分別以AF，AD，AP為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，0），BP（0，0，2），C（

2

2

，1-

2

2

，0），D（0，1，0），

AP

=(0，0，2)，

AD

=(0，1，0)，

PC

=(

2

2

，1-

2

2

，-2)，

PD

=(0，1，-2)，
設(shè)平面PAD的一個法向量為

m

=(x，y，z)，
則

AP

•

m

=0，

AD

•

m

=0，
∴

2z=0 y=0

，∴

m

=（1，0，0），
設(shè)平面PCD的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），
則

PC

•

n

=0，

PD

•

n

=0，
∴

2 2 x1+(1- 2 2 )y1-2z1=0 y1-2z1=0

，
∴

n

=(2，2，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2

3

．
∴二面角A-PD-C的大小為arccos

2

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的求法，解題時要認真審題，合理地化空間問題為平面問題，注意向量法的合理運用．