已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x+1）（a∈R）
（I）若當(dāng)x∈[1，+∞）時，f'（x）＞0恒成立，求a的取值范圍；
（II）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【答案】分析：（I）先求出導(dǎo)函數(shù)．再由f′（x）＞0恒成立，分離參數(shù)得a＜lnx++1（x≥1）恒成立，令h（x）=lnx++1，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值，從而解決問題；
（II）先寫出函數(shù)g（x）的解析式，再求出導(dǎo)數(shù)g′（x）=，下面對a進(jìn)行分類討論：當(dāng)a≥1時，當(dāng)a＜1時，結(jié)合導(dǎo)數(shù)工具研究其單調(diào)區(qū)間即可．
解答：解：x＞0，f′（x）=lnx+-a．
（I）f′（x）＞0恒成立，即a＜lnx++1（x≥1）恒成立，
令h（x）=lnx++1，則h′（x）=≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[1，+∞）時，h（x）最小值=h（1）=2，
故a＜2．
（II）g（x）=f′（x）-=lnx+-a-=lnx++1-a，
g′（x）=，
當(dāng)a≥1時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上遞增；
當(dāng)a＜1時，g′（x）=0，得x=1-a，
x∈（0，1-a）時，g′（x）＜0函數(shù)g（x）在（0，+∞）上遞減；
x∈（1-a，+∞）時，g′（x）＞0函數(shù)g（x）在（0，+∞）上遞增；
故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為：
當(dāng)a≥1時，函數(shù)g（x）遞增區(qū)間為：（0，+∞）；
當(dāng)a＜1時，函數(shù)g（x）遞增區(qū)間為：（1-a，+∞）；函數(shù)g（x）遞減區(qū)間為：（0，1-a）．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意解題時要先分析函數(shù)的定義域．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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