Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)M （1，-3）、N（5，1），若點(diǎn)C滿足

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），點(diǎn)C的軌跡與拋物線：y²=4x交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求證：

OA

⊥

OB

；
（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)P （m，0），使得過點(diǎn)P任作拋物線的一條弦，并以該弦為直徑的圓都過原點(diǎn)．若存在，請(qǐng)求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證明

OA

⊥

OB

，由平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，我們易得，即為證明

OA

•

OB

=0，我們可以聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用設(shè)而不求的方法，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）不難得到答案．
（2）由（1）的結(jié)論，我們易得，當(dāng)P（4，0）是滿足要求，但為了得到結(jié)論我們還要對(duì)經(jīng)過該點(diǎn)的直線進(jìn)行分類討論，及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C，然后才能得到結(jié)論．

解答：證明：（1）∵點(diǎn)C滿足

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），
則M、N、C三點(diǎn)共線，
又因?yàn)橹本�MN的方程為x-y-4=0
∴點(diǎn)C的軌跡方程為x-y-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x-y-4=0 y2=4x

得：
x²-12x+16=0
∴x₁•x₂=16，x₁+x₂=12
又y₁•y₂=（x₁-4）•（x₂-4）=-16
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴

OA

⊥

OB

；
（2）由（1）的結(jié)論得，存在點(diǎn)（4，0），使得過點(diǎn)P任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過原點(diǎn)．
證明：當(dāng)弦所在直線的斜率不存在時(shí)，弦的方程為x=4
此時(shí)弦長(zhǎng)為8，弦的中點(diǎn)即為（4，0），故滿足題目要求，
當(dāng)弦所在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)弦的方程為x=ky+4，
代入拋物線方程y²=4x得：y²-4ky-16=0
∴y₁+y₂=4k，y₁•y₂=-16
k_OA•k_OB=

y1

y 2 1 4

•

y2

y 2 2 4

=

16

y1•y2

=-1
∴

OA

⊥

OB

，故以AB為直徑的圓都過原點(diǎn)．
此時(shí)滿足條件的m=4

點(diǎn)評(píng)：若

OC

= λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=1．則A、B、C三點(diǎn)共線，且C分AB的兩段線段AC與BC的長(zhǎng)度之比，AC：BC=μ：λ