已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，右焦點為 （2
2
，0）．斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（-3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．
分析：（Ⅰ）由橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，右焦點為 （2
2
，0），知
c
a
=
6
3
c=2
2
，由此能求出橢圓G的方程．
（Ⅱ）設l：y=x+b，代入
x2
12
+
y2
4
=1，得4x2+6bx+3b2-12=0，根據韋達定理xA+xB=-
3b
2
，xA•xB=
3b2-12
4
，故yA+yB=
b
2
，由此能求出△PAB的面積．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，右焦點為 （2
2
，0），
∴
c
a
=
6
3
c=2
2
，解得a=2
3
，
∴b=
12-8
=2，
∴橢圓G的方程為
x2
12
+
y2
4
=1．
（Ⅱ）設l：y=x+b，
代入
x2
12
+
y2
4
=1，得4x2+6bx+3b2-12=0，
根據韋達定理xA+xB=-
3b
2
，xA•xB=
3b2-12
4
，
∴yA+yB=
b
2
，
設M為AB的中點，則M（-
3b
4
，
b
4
），AB的中垂線的斜率k=-1，
∴AB的中垂線：x+y+
b
2
=0，將P（-3，2）代入，得b=2，
∴l(xiāng)：x-y+2=0，根據弦長公式可得AB=3
2
，d=
3
2
，
∴S△PAB=
1
2
×3
2
×
3
2
=
9
2
．
點評：本題考查橢圓方程和三角形面積的求法，具體涉及到橢圓的簡單性質、直線和橢圓的位置關系、根與系數(shù)的關系、根的判別式、中垂線方程的求法、弦長公式等基本知識點，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，且右頂點為A（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）過點P（0，2）的直線l與橢圓G交于A，B兩點，當以線段AB為直徑的圓經過坐標原點時，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•順義區(qū)二模）已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
，點F（1，0）為橢圓的右焦點．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）過右焦點F作斜率為k的直線l與橢圓G交于M、N兩點，若在x軸上存在著動點P（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，試求出m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•順義區(qū)一模）已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的離心率為
2
2
，⊙M過橢圓G的一個頂點和一個焦點，圓心M在此橢圓上，則滿足條件的點M的個數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•順義區(qū)二模）已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓G的兩個焦點，點P在橢圓G上，且△PF1F2的周長為4+4
2
．
（Ⅰ）求橢圓G的方程
（Ⅱ）設直線l與橢圓G相交于A、B兩點，若
OA
⊥
OB
（O為坐標原點），求證：直線l與圓x2+y2=
8
3
相切．

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