Question

一個(gè)棱柱的三視圖（正視圖長為a，寬為

2

的矩形，俯視圖是長為a，寬為1的矩形，側(cè)視圖是直角邊長分別為1和

2

的直角三角形）和直觀圖如圖所示，其中G是棱DF的中點(diǎn)．M是棱AB上一點(diǎn)．
（1）若M是AB的中點(diǎn)，求證：AG∥平面FMC；
（2）若棱AB上存在唯一的一點(diǎn)M，使得∠FMC=90°，求a的值；
（3）在（2）的條件下，求二面角D-FC-M的大�。�

Answer 1

分析：（1）取FC的中點(diǎn)H，連接GH，HM，利用三角形中位線定理及矩形的幾何特征，我們結(jié)合線面平行的判定定理，易得AG∥平面FMC；
（2）連接DM，根據(jù)已知條件及空間線線垂直、線面垂直及面面垂直之間的關(guān)系，我們易得CM⊥DM，然后根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程，即可求出a的值；
（3）要求二面角D-FC-M的大小，我們要先求出二面角D-FC-M的大小的平面角，結(jié)合二的結(jié)論，我們易得∠DPQ即為二面角D-FC-M的平面角，解三角形DPQ即可得到答案．

解答：解：（1）取FC的中點(diǎn)H，連接GH，HM

∵G為DF的中點(diǎn)，
∴GH為△FDC的中位線
∴GH∥DC且GH=

1

2

DC
∵四邊形ABCD為矩形，且M是AB的中點(diǎn)
∴AM∥DC且AM=

1

2

DC
∴GH∥AM且GH=AM
∴四邊形AMHG為平行四邊形，
∴AG∥MH
又∵M(jìn)H?平面FMC，AG?平面FMC，
∴AG∥平面FMC；
（2）連接DM
∵∠FMC=90°
∴CM⊥FM，
由已知FD⊥平面ABCD，且CM?平面ABCD
∴FD⊥CM
又∵FM∩FD=F
∴CM⊥平面FMD
∴CM⊥DM
設(shè)AM=t，t∈[0，a]，則BM=a-t，
由DM²+CM²=CD²得：t²+1+（a-t）²+1=a²，
即t²-at+1=0，t∈[0，a]，
由題意，可知△=a²-4=0
解得a=2，此時(shí)a=1
（3）作DP⊥FC于P，DQ⊥FM于Q，連接PQ
由（2）的結(jié)論得：CM⊥平面FDM
又∵CM?平面FMC
∴平面FMC⊥平面FDM
∵DQ⊥FM
∴DQ⊥平面FMC
又∵FC?平面FMC
∴DQ⊥FC
又∵DP⊥FC，DQ∩DP=D
∴FC⊥平面DPQ
∴FC⊥QP，
∴∠DPQ即為二面角D-FC-M的平面角，
在Rt△FDC中，∵DF=

2

，DC=2，
∴FC=

6

∴DP=

DF•DC

FC

=

2 3

3

在Rt△FDM中，DF=

2

，DM=

2

，
∴FM=2，DQ=1
在Rt△DPQ中，sin∠DPQ=

DQ

DP

=

3

2

∴∠DPQ=60°
即二面角D-FC-M的大小為60°

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線 與平面平等的判定，二面角的求法，根據(jù)三視圖判斷已知幾何中的相關(guān)直線的位置關(guān)系及大小是解答本題的基礎(chǔ)．