Question

已知函數(shù)f（x）=2^-x-1-3，x∈R，g(x)=

f(x-1)+2，-1＜x≤0 g(x-1)+k，x＞0

，有下列說法：
①不等式f（x）＞0的解集是（-∞，-1-log₂3）；
②若關(guān)于x的方程f²（x）+8f（x）-m=0有實(shí)數(shù)解，則m≥-16；
③當(dāng)k=0時(shí)，若g（x）≤m有解，則m的取值范圍為[0，+∞）；若g（x）＜m恒成立，則m的取值范圍為[1，+∞）；
④若k=2，則函數(shù)h（x）=g（x）-2x在區(qū)間[0，n]（n∈N*）上有n+1個(gè)零點(diǎn)．
其中你認(rèn)為正確的所有說法的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：①由2^-x-1-3＞0，可得x＜-1-log₂3；
②令t=2^-x-1-3（t＞-3），關(guān)于x的方程f²（x）+8f（x）-m=0有實(shí)數(shù)解，等價(jià)于t²+8t-m=0有大于-3的解，由此可得結(jié)論；
③確定函數(shù)g（x）的函數(shù)的值域?yàn)閇0，1），即可得到結(jié)論；
④若k=2，則函數(shù)h（x）=g（x）-2x在區(qū)間[0，1]上有2個(gè)零點(diǎn)0和1，在區(qū)間[0，n]（n∈N^*）上有n+1個(gè)零點(diǎn)，即為0，1，2…，n．

解答：解：①由2^-x-1-3＞0，可得x＜-1-log₂3，∴不等式f（x）＞0的解集是（-∞，-1-log₂3），∴①正確；
②令t=2^-x-1-3（t＞-3），∵關(guān)于x的方程f²（x）+8f（x）-m=0有實(shí)數(shù)解，∴t²+8t-m=0有大于-3的解，∴

△=64+4m＞0 (-3)2+8×(-3)-m＜0

，∴m＞-15，故②不正確；
③由題意，函數(shù)g（x）的函數(shù)的值域?yàn)閇0，1），∴若g（x）≤m有解，則m的取值范圍為[0，+∞）；若g（x）＜m恒成立，則m的取值范圍為[1，+∞），即③正確；
④若k=2，則函數(shù)h（x）=g（x）-2x在區(qū)間[0，1]上有2個(gè)零點(diǎn)0和1，在區(qū)間[0，n]（n∈N^*）上有n+1個(gè)零點(diǎn)，即為0，1，2…，n，故正確
綜上，正確的所有說法的序號是①③④
故答案為：①③④

點(diǎn)評：本題考查命題真假的判定，考查函數(shù)與方程思想，考查學(xué)生防線解決問題的能力，屬于中檔題．