Question

設f（x）是定義在實數(shù)R上的函數(shù)，g（x）是定義在正整數(shù)N^*上的函數(shù)，同時滿足下列條件：
（1）任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），當x＜0時，f（x）＞1且f(-1)=

5

；
（2）g（1）=f（0），g（2）=f（-2）；
（3）f[g(n+2)]=

f[(n+3)g(n+1)]

f[(n+2)g(n)]

，n∈N^*
試求：
（1）證明：任意x，y∈R，x≠y，都有

f(x)-f(y)

x-y

＜0；
（2）是否存在正整數(shù)n，使得g（n）是25的倍數(shù)，若存在，求出所有自然數(shù)n；若不存在說明理由．（階乘定義：n!=1×2×3×…×n）

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，當x=y=0時，f（0）=f（0）•f（0），得出f（0）=1；再利用條件當x＞0時，f（x）=

1

f(-x)

＜1，得對任意實數(shù)都有f（x）＞0，再對x，y的大小關系進行分類討論：若x＜y，則f（x）=f（x-y）•f（y）＞f（y），從而f（x）-f（y）＞0；同理，若x＞y，

f(x)-f(y)

x-y

＜0得證；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即存在正整數(shù)n，使得g（n）是25的倍數(shù)，再利用函數(shù)的單調性結合數(shù)列的質，求出g（n）的表達式，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）當x=y=0時，f（0）=f（0）•f（0），∴f（0）=0，f（0）=1
若f（0）=0，則得f（x）=f（x+0）=f（x）f（0）=0，不可能，舍去
∴f（0）=1
當x＞0時，f（x）=

1

f(-x)

＜1，得，0＜f（x）＜1
∴f（x）＞0，x∈R
若x＜y，則，x-y＜0，f（x-y）＞1，f（x）=f（x-y）•f（y）＞f（y），
∴f（x）-f（y）＞0，

f(x)-f(y)

x-y

＜0
同理，若x＞y，

f(x)-f(y)

x-y

＜0∴任意x，y∈R，x≠y，都有

f(x)-f(y)

x-y

＜0
（2）∵g（1）=f（0）=1，g（2）=f（-2）=f（-1）f（-1）=5
由（1）可得f（x）為單調減函數(shù)∵f[g（n+2）]=

f[(n+3)g(n+1)]

f[(n+2)g(n)]

=f[(n+3)g(n+1)-(n+2)g(n)]
∴g（n+2）=（n+3）g（n+1）-（n+2）g（n）
得∴g（n+2）-g（n+1）=（n+2）（g（n+1）-g（n）），n≥1
∴g（n）-g（n-1）=n（g（n-1）-g（n-2）），n≥3g（n-1）-g（n-2）=（n-1）（g（n-2）-g（n-3））
…g（3）-g（2）=3（g（2）-g（1））
相乘得：∴g（n）-g（n-1）=

n!

2

[g(2)-g(1)]，n≥3…①
又由①式得：g（n）-g（n-1）=

n!

2

[g(2)-g(1)]，n≥3g（n-1）-g（n-2）=

(n-1)!

2

[g(2)-g(1)]
…g（3）-g（2）=

3!

2

[g(2)-g(1)]，g（2）-g（1）=

2!

2

[g(2)-g(1)]
相加得：g（n）-g（1）=

1

2

[g(2)-g(1)](2!+3!+…+n!)，n≥2，
g（n）=2（2!+3!+…+n!）+1，n≥2，
g（1）=1，g（2）=5，g（3）=17，g（4）=65，g（5）=305，
g（6）=1745，g（7）=11825，g（8）=92465，g（9）=818225，
由于當n≥10時，n!能被25整除
綜上，存在正整數(shù)n，當n=7或n≥9，n∈N時，g（n）是25的倍數(shù)．

點評：本題是一個抽象函數(shù)題，其解答過程中用到了數(shù)列中的累加法累乘法，可歸為數(shù)列與函數(shù)綜合，解答過程中出現(xiàn)了階乘，此符號題中有定義，考點中可不考慮．