Question

一個(gè)口袋裝有n個(gè)紅球(n≥5且n∈N)和5個(gè)白球,一次摸獎(jiǎng)從中摸2個(gè)球(每次摸獎(jiǎng)后放回),2個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng).

(1)試用n表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率.

(2)若n=5,求3次摸獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)次數(shù)ξ=1的概率及數(shù)學(xué)期望.

(3)記3次摸獎(jiǎng)恰有1次中獎(jiǎng)的概率為P,當(dāng)n取多少時(shí),P最大?

 

Answer 1

(1) P= (2) (3) n=20

【解析】(1)記“1次從n+5個(gè)球中摸出2個(gè)球”為事件A,card(A)=.

“1次從n+5個(gè)球中摸出2個(gè)球且2個(gè)球異色”為事件B,card(B)=5n,

所以,所求概率P=.

(2)3次放回式摸獎(jiǎng)中“每次從n+5個(gè)球中摸出2個(gè)球且2個(gè)球異色”為獨(dú)立重復(fù)事件,

當(dāng)n=5時(shí),獲獎(jiǎng)次數(shù)ξ～B(3,),

P(ξ=1)=.

E(ξ)=np==.

(3)ξ～B(n,p),

P(ξ=1)=p(1-p)2=3p3-6p2+3p,0<p<1,

令f(p)=3p3-6p2+3p,由f'(p)=9p2-12p+3=0,

得p=;

當(dāng)p=時(shí)f(p)有最大值.

由p==,解得n=20.

所以當(dāng)n=20時(shí),3次摸獎(jiǎng)恰有1次中獎(jiǎng)的概率最大.