Question

（2012•武清區(qū)一模）如圖，六棱錐P-ABCDEF的底面ABCDEF是邊長(zhǎng)為l的正六邊形，頂點(diǎn)P在底面上的射影是BF的中點(diǎn)O．
（1）求證：PA⊥BF；
（2）若直線PB與平面ABCDEF所成的角為

π

4

，求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直證明線線垂直，即證明BF⊥平面PAO；
（2）以O(shè)B，OD，OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用坐標(biāo)表示向量，進(jìn)而求出兩平面的法向量，利用向量的夾角公式可求二面角A-PB-D的余弦值．

解答：（1）證明：連接OA，則∵AB=AF，BF的中點(diǎn)O，∴AO⊥BF
∵頂點(diǎn)P在底面上的射影是BF的中點(diǎn)O
∴PO⊥BF
∵AO∩PO=O
∴BF⊥平面PAO
∵PA?平面PAO
∴PA⊥BF；
（2）解：∵頂點(diǎn)P在底面上的射影是BF的中點(diǎn)O
∴∠PBO為直線PB與平面ABCDEF所成的角
∵直線PB與平面ABCDEF所成的角為

π

4

，
∴∠PBO=

π

4

以O(shè)B，OD，OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，-

1

2

，0），B（-

3

2

，0，0），P（0，0，

3

），D（0，

3

2

，0）
∴

PB

=(-

3

2

，0， -

3

)，

AB

=(-

3

2

，

1

2

，0)，

BD

=(

3

2

，

3

2

，0)
設(shè)平面APB的法向量為

m

=(x，y，z)，則

m • PB =0 m • AB =0

，
∴

- 3 2 x- 3 z=0 - 3 2 x+ 1 2 y=0

，領(lǐng)z=-1，可得

m

=(2，2

3

，-1)
同理可得平面DPB的法向量為

n

=(-2，

2 3

3

，1)
設(shè)二面角A-PB-D的平面角為α，則cosα=

m • n

| m || n |

=-

3 17×19

=-

969

323

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是利用線面垂直證明線線垂直，利用向量法，求面面角，屬于中檔題．