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某縣地處水鄉(xiāng),縣政府原計劃從今年起填湖圍造一部分生產和生活用地,但根據前幾年抗洪救災得到的經驗教訓和環(huán)境保護、生態(tài)平衡的要求,準備重新研究修改計劃,為了尋求合理的計劃方案,需要研究以下問題:

(1)若按原計劃填湖造地,水面的減少必然導致蓄水能力的下降,為了保證防洪能力不會下降,除了填湖每畝b元費用外,還需要增加排水設備費用,所需經費與當年所填湖造地面積x(畝)的平方成正比,其比例系數為a,又知每畝地面的年平均收益為c元(其中a、bc均為常數),若按原計劃填湖造地,且使得今年的收益不小于支出,試求所填面積x的最大值.

(2)如果以每年1%的速度減少填湖造地的新增面積,并為了保證水面的蓄洪能力和環(huán)保要求,填湖造地的總面積永遠不能超過現有水面面積的,求今年填湖造地的面積最多只能占現有水面的百分之幾?

答案:
解析:

  解:(1)收益不少于支出的條件可以表示為cx-(ax2bx)≥0.

  所以ax2+(bc)x≤0,x[ax-(cb)]≤0.

  當cb≤0時,,此時不能填湖造地;

  當cb>0時,,此時所填面積的最大值為畝.

  (2)設該縣的現有水面為m畝,今年填湖造地的面積為x畝,則x+(1-1%)x+(1-1%)2x+…≤,不等式左邊是無窮等比數列的和,故有,即,所以今年填湖造地的面積最多只能占現有水面的0.25%.

  思路分析:收益不小于支出的含義就是收益與支出的差不小于0,因此本題變成一個解不等式問題,因為本題中都是字母給出的量,所以要對結果進行分類討論.


練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

某縣地處水鄉(xiāng),縣政府計劃從今年起用處理過的生活垃圾和工業(yè)廢渣填河造地.
(1)若該縣以每年1%的速度減少年填河面積,并保持生態(tài)平衡,使填河總面積永遠不會超過現有水面面積的
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,問:今年所填面積最多只能占現有水面面積的百分之幾?
(2)水面的減少必然導致蓄水能力的降低,為了保持其防洪能力不會下降,就要增加排水設備,設其經費y(元)與當年所填土地面積x(畝)的平方成正比,比例系數為a,又設每畝水面平均經濟收入為b元,所填的每畝土地年平均收入為c元,那么,要使這三項的收入不少于支出,試求所填面積x之最大值(其中a,b,c為常數).

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

某縣地處水鄉(xiāng),縣政府計劃從今年起用處理過的生活垃圾和工業(yè)廢渣填河造地.
(1)若該縣以每年1%的速度減少年填河面積,并保持生態(tài)平衡,使填河總面積永遠不會超過現有水面面積的數學公式,問:今年所填面積最多只能占現有水面面積的百分之幾?
(2)水面的減少必然導致蓄水能力的降低,為了保持其防洪能力不會下降,就要增加排水設備,設其經費y(元)與當年所填土地面積x(畝)的平方成正比,比例系數為a,又設每畝水面平均經濟收入為b元,所填的每畝土地年平均收入為c元,那么,要使這三項的收入不少于支出,試求所填面積x之最大值(其中a,b,c為常數).

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