Question

已知函數(shù)．
（1）判定函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設a＞1，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），根據(jù)函數(shù)的定義域x大于0得到f′（x）恒小于等于0即可得到函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；
（2）由（1）知函數(shù)為減函數(shù)，由a大于1得到f（a）小于f（1），分別把f（a）和f（1）求出代入化簡即可得證．
解答：解：（1）f′（x）=-=，x∈（0，+∞）
當2-x-1≤0，即4x≤（x+1）²，即（x-1）²≥0，x∈（0，+∞）時f′（x）≤0恒成立，
所以f（x）在區(qū)間上（0，+∞）單調(diào)遞減；
（2）證明：由（1）得函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，
因為a＞1，所以得到f（a）＜f（1）即lna-＜0，即lna＜即＜．
點評：此題考查學生會利用導函數(shù)的正負得到原函數(shù)的增減性，會利用函數(shù)的增減性化簡求值，是一道中檔題．