已知拋物線x2＝4y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且＝λFB(λ＞0)．過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M．

(1)證明為定值；

(2)設△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達式，并求S的最小值．

答案：
解析：

　　解：(1)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，

　　即得(－x1，1－y1)＝λ(x2，y2－1)，

　　∴

　　將①式兩邊平方并把y1＝，

　　y2＝代入得y1＝λ2y2　�、�

　　解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有

　　x1x2＝＝－4λy2＝－4．

　　拋物線方程為y＝．

　　求導得＝．

　　所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是

　　y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，

　　即y＝x1x－，y＝x2x－．

　　解出兩條切線的交點M的坐標為()＝(，－1)．

　　所以＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)

　�。�＝0

　　所以為定值，其值為0．

　　　(2)由(1)知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

　　|FM|＝

　�。�

　　因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y＝－1的距離，所以

　　|AB|＝|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝λ＋2

　　于是S＝|AB||FM|＝，由，知S≥4，

　　且當λ＝1時，S取得最小值4．


練習冊系列答案
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A.        B.

C．1          D．2

 

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（Ⅰ）證明·為定值；（Ⅱ）設△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達式，并求S的最小值．

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