Question

已知數(shù)列滿足：，數(shù)列滿足.
（1）若是等差數(shù)列，且求的值及的通項公式；
（2）若是公比為的等比數(shù)列，問是否存在正實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；
（3）若是等比數(shù)列，求的前項和（用n,表示）.

Answer 1

（1），（2）不存在正實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列
（3）

試題分析：（1）因為是等差數(shù)列，，　　　　　　　　       
， 解之得或者（舍去）　 3分
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
（2）因為是公比為的等比數(shù)列，所以，　
若為等比數(shù)列，則，　　　　　　　　 6分
，即， 　　　　　　
，無解．不存在正實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列． 8分
另解：因為是公比為的等比數(shù)列，，，
若為等比數(shù)列，則，，　　　　　　
，無解，不存在正實數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列．
（3）若是等比數(shù)列，其中公比，，
，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
，當(dāng)時，　　 12分
當(dāng)時，   ①
①  ②     14分
①-②得，（1-）

=  
綜上所述：  16分
點評：判定數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列，一般要從定義入手，判定相鄰兩項的差值或比值是否是同一常數(shù)，若是則為等差或等比數(shù)列，等比數(shù)列求和時要注意分公比兩種情況，另本題還用到了數(shù)列求和常用的方法之一：錯位相減法，此法適用于通項為關(guān)于的一次式與指數(shù)式的乘積形式的數(shù)列