Question

（本小題滿分14分）
已知數(shù)列滿足。
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)；
（Ⅱ）若，且，求和；
（Ⅲ）比較的大小，并予以證明。

Answer 1

解析：（Ⅰ）
數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，…………2分
故
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823171737174396.gif" style="vertical-align:middle;" />
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為……4分
（Ⅱ）將代入可求得

所以…………5分[
①
②…………7分
由①-②得

…………9分
（Ⅲ）
于是確定與的大小關(guān)系等價(jià)于比較與的大小
由1，
可猜想當(dāng)時(shí)，…………11分
證明如下：
證法1：（1）當(dāng)時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立，
（2）假設(shè)時(shí)成立，即
則時(shí)
所以當(dāng)時(shí)猜想也成立
綜合可知，對(duì)一切的正整數(shù)，都有…………12分
證法2：當(dāng)時(shí)
12分
綜上所述，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，……14

略