過雙曲線M：x2-
y2
b2
=1的左頂點A作斜率為1的直線l，若l與雙曲線的兩漸近線分別交于B，C兩點，且
AB
=
BC
，則雙曲線的離心率是
10
10
．
分析：根據(jù)雙曲線方程，得漸近線方程為y=-bx或y=bx．設(shè)直線l的方程為y=x+1，與漸近線方程聯(lián)解分別得到B、C的橫坐標關(guān)于b的式子．由
AB
=
BC
得B為AC的中點，利用中點坐標公式建立關(guān)于b的方程并解之可得b=3，由此算出c=
10
，即可得到該雙曲線的離心率．
解答：解：由題可知A（-1，0）所以直線l的方程為y=x+1
∵雙曲線M的方程為x2-
y2
b2
=1，∴兩條漸近線方程為y=-bx或y=bx
由y=x+1和y=-bx聯(lián)解，得B的橫坐標為xB=-
1
b+1

同理可得C的橫坐標為xC=
1
b-1

∵
AB
=
BC
，∴B為AC中點，可得2xB=xA+xC，
即-
1
b+1
•2=-1+
1
b-1
，解之得b=3（舍去b=0）
因此，c=
a2+b2
=
10
，可得雙曲線的離心率e=
c
a
=
10

故答案為：
10
點評：本題給出雙曲線的漸近線與過左頂點A的直線相交于B、C兩點且B為AC的中點，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知一條曲線C在y軸右邊，C上任意一點到點F1（2，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是2．
（1）求曲線C的方程；
（2）若雙曲線M：x2-
y2
t
=1（t＞0）的一個焦點為F1，另一個焦點為2，過F2的直線l與M相交于A、B兩點，直線l的法向量為
n
=（k，-1）（k＞0），且
OA
•
OB
=0，求k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•上海）已知雙曲線C1：x2-
y2
4
=1．
（1）求與雙曲線C1有相同焦點，且過點P（4，
3
）的雙曲線C2的標準方程；
（2）直線l：y=x+m分別交雙曲線C1的兩條漸近線于A、B兩點．當
OA
•
OB
=3時，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C1：x2-y2=m（m＞0）與橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1有公共焦點F1F2，點N(
2
，1)是它們的一個公共點．
（1）求C1，C2的方程；
（2）過點F2且互相垂直的直線l1，l2與圓M：x2+（y+1）2=4分別相交于點A，B和C，D，求|AB|+|CD|的最大值，并求此時直線l1的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作圓x2+y2=a2的切線FM，交y軸于點P，切圓于點M，若2
OM
=
OF
+
OP
，則雙曲線的離心率是（　�。�
A、
5
B、
3
C、2
D、
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線x2-
y2
3
=1的左、右焦點為F1、F2，過點F2的直線L與其右支相交于M、N兩點（點M在x軸的上方），則點M到直線y=
3
x的距離d的取值范圍是
 
．

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