Question

已知a＞0，b＞0，判斷a³+b³與a²b+ab²的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：法一，分析法：證明使a³+b³＞a²b+ab²成立的充分條件成立，即要證a²+b²＞a²b+ab²成立，只需證（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）成立，只需證a²-ab+b²＞ab成立，而依題設(shè)a≠b，則（a-b）²＞0顯然成立，從而得到證明；
法二，綜合法：由條件a≠b推出：a²-2ab+b²＞0，通過(guò)變形，應(yīng)用不等式的性質(zhì)可證出結(jié)論．
法三，比較法：將兩個(gè)式子作差變形，通過(guò)提取公因式化為完全平方與一個(gè)常數(shù)的積的形式，判斷符號(hào)，得出大小關(guān)系．

解答：解：證明：法一：（分析法）
要證a²+b²＞a²b+ab²成立，
只需證（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）成立
又因?yàn)閍＞0，
只需證a²-ab+b²＞ab成立，
而依題設(shè)a≠b，則（a-b）²＞0顯然成立，
由此命題得證．
法二：（綜合法）∵a≠b，
∴a-b≠0
∴a²-2ab+b²＞0
∴a²-ab+b²＞ab（*）
而a，b均為正數(shù)，
∴a+b＞0，
∴（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）
∴a³+b³＞a²b+ab²．
法三：比較法（作差）
（a³+b³）-（a²b+ab²）=（a³-a²b）+（b³-ab²）

=a2(a-b)+b2(b-a) =(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2

…（4分）
又∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，而（a-b）²≥0．
∴（a+b）（a-b）²≥0．…（6分）
故（a³+b³）-（a²b+ab²）≥0即a³+b³≥a²b+ab²…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，體會(huì)不同方法間的區(qū)別聯(lián)系．用作差的方法比較兩個(gè)式子的大小，注意將差化為因式積的形式，以便于判斷符號(hào)．