Question

（2012•自貢一模）已知a∈R，求函數(shù)f（x）=（2-3a）x²-2x+a在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析：先對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，再考慮二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，從而確定函數(shù)f（x）=（2-3a）x²-2x+a在區(qū)間[0，1]上的最小值．

解答：解：Ⅰ、當(dāng)2-3a=0，即 a=

2

3

時(shí)，f(x)=-2x+

2

3

在[0，1]上遞減
∴fmin(x)=f(1)=-

4

3

（2分）
當(dāng)2-3a≠0，即a≠

2

3

時(shí)，f（x）為二次函數(shù)                　　 （3分）
Ⅱ、若2-3a＞0，即a＜

2

3

時(shí)，f（x）的開口向上，其對稱軸為x=

1

2-3a

（4分）
①當(dāng)2-3a＞1時(shí)，即  a＜

1

3

時(shí)，此時(shí)0＜

1

2-3a

＜1，
∴fmin(x)=f(

1

2-3a

)=

3a2-2a+1

3a-2

  （6分）
②當(dāng) 0＜2-3a≤1，即

1

3

≤a＜

2

3

時(shí)，此時(shí)

1

2-3a

≥ 1，f_min（x）=f（1）=-2a         （8分）
Ⅲ、若2-3a＜0，即a＞

2

3

時(shí)，f（x）的開口向下，其對稱軸為x=

1

2-3a

  （9分）
f_min（x）=f（1）=-2a　　　　　　　　　　　　                �。�10分）
綜上可得：fmin(x)=

3a2-2a+1 3a-2 ，a＜ 1 3 -2a，a≥ 1 3

                　　   （12分）

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查函數(shù)在指定區(qū)間上的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)求最值的方法．