【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣k)ex . (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.

【答案】解:(Ⅰ)f′(x)=(x﹣k+1)ex

令f′(x)=0,得x=k﹣1,

f′(x)f(x)隨x的變化情況如下:

x

(﹣∞,k﹣1)

k﹣1

(k﹣1,+∞)

f′(x)

0

+

f(x)

﹣ek1

∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(﹣∞,k﹣1),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(k﹣1,+∞);

(Ⅱ)當(dāng)k﹣1≤0,即k≤1時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,

∴f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)=﹣k;

當(dāng)0<k﹣1<1,即1<k<2時(shí),由(I)知,f(x)在區(qū)間[0,k﹣1]上單調(diào)遞減,f(x)在區(qū)間(k﹣1,1]上單調(diào)遞增,

∴f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k﹣1)=﹣ek1;

當(dāng)k﹣1≥1,即k≥2時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,

∴f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)=(1﹣k)e;

綜上所述f(x)min=


【解析】(I)求導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)等于零,解方程,跟據(jù)f′(x)f(x)隨x的變化情況即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)根據(jù)(I),對k﹣1是否在區(qū)間[0,1]內(nèi)進(jìn)行討論,從而求得f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=f′(x),當(dāng)x≠0時(shí), >0,若a=f(1),b=﹣2f(﹣2),c=(ln )f(ln ),則a,b,c的大小關(guān)系正確的是(
A.a<c<b
B.b<c<a
C.a<b<c
D.c<a<b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】給出以下四個(gè)說法: ①繪制頻率分布直方圖時(shí),各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的組距;
②在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí),相關(guān)指數(shù)R2的值越大,說明擬合的效果越好;
③設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4,22),則p(ξ>4)=
④對分類變量X與Y,若它們的隨機(jī)變量K2的觀測值k越小,則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大.
其中正確的說法是(
A.①④
B.②③
C.①③
D.②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線與直線x﹣2=0垂直,求f(x)的單調(diào)區(qū)間(其中e為自然對數(shù)的底數(shù));
(2)若對任意x1>x2>0,f(x1)﹣f(x2)<x1﹣x2恒成立,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)的最小正周期為,且點(diǎn)是該函數(shù)圖象的一個(gè)最高點(diǎn).

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)若,求函數(shù)的值域;

(3)把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)上是單調(diào)增函數(shù),求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某工廠2萬元設(shè)計(jì)了某款式的服裝,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),每生產(chǎn)1百套該款式服裝的成本為1萬元,每生產(chǎn)(百套)的銷售額(單位:萬元).

(1)若生產(chǎn)6百套此款服裝,求該廠獲得的利潤;

(2)該廠至少生產(chǎn)多少套此款式服裝才可以不虧本?

(3)試確定該廠生產(chǎn)多少套此款式服裝可使利潤最大,并求最大利潤.(注:利潤=銷售額-成本,其中成本=設(shè)計(jì)費(fèi)+生產(chǎn)成本)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列說法: ①將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后,均值與方差都不變;
②設(shè)有一個(gè)回歸方程 ,變量x增加一個(gè)單位時(shí),y平均增加3個(gè)單位;
③線性回歸方程 必經(jīng)過點(diǎn) ;
④在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中,從獨(dú)立性檢驗(yàn)知,有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí),我們說現(xiàn)有100人吸煙,那么其中有99人患肺病.其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是(
A.0
B.1
C.2
D.3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) (a<0). (Ⅰ)當(dāng)a=﹣3時(shí),求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】隨機(jī)調(diào)查某社區(qū)80個(gè)人,以研究這一社區(qū)居民的休閑方式是否與性別有關(guān),得到下面的數(shù)據(jù)表:

休閑方式
性別

看電視

運(yùn)動(dòng)

合計(jì)

男性

20

10

30

女性

45

5

50

合計(jì)

65

15

80


(1)將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率,隨機(jī)調(diào)查3名在該社區(qū)的男性,設(shè)調(diào)查的3人是以運(yùn)動(dòng)為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和期望;
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有99%的把握認(rèn)為休閑方式與性別有關(guān)系?

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:K2= ),其中n=a+b+c+d)

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