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如圖,平面EACF⊥平面ABC,△ABC為邊長為a的正三角形,四邊形ACFE為正方形,點(diǎn)M在線段EF上,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn).
(1)求證:BD⊥平面EACF;
(2)當(dāng)M在線段EF的什么位置時(shí),AM∥平面BDF,并證明你的結(jié)論;
(3)求平面EFB與平面ABC所成的銳二面角的正切值.

【答案】分析:(1)證明線面垂直問題一般用線面垂直的判定定理,由題設(shè)條件及圖形知,可證明兩個(gè)平面垂直,再證明這條線在一個(gè)平面上且垂直于另一個(gè)平面.
(2)當(dāng)點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)時(shí),AM∥平面BDF,下面要證明當(dāng)M是中點(diǎn)時(shí),結(jié)論成立,根據(jù)線面平行的判定定理得到結(jié)論.
(3)以D為原點(diǎn),DA,DB,DM所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo),構(gòu)造向量,設(shè)出平面上的法向量,求出法向量,根據(jù)兩個(gè)向量所成的角的余弦值得到要求的結(jié)果.
解答:解:(1)證明:∵平面EACF⊥平面ABC,平面EACF∩平面ABC=AC
又∵AB=BC,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),
∴BD⊥AC∴BD⊥平面EACF.
(2)當(dāng)點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)時(shí),AM∥平面BDF.
證明如下:∵M(jìn)為EF的中點(diǎn),四邊形ACFE為正方形,
∴四邊形AMFC為平行四邊形.
∴AM∥DF∵AM?平面BDF,DF?平面BDF
∴AM∥平面BDF.
(3)以D為原點(diǎn),DA,DB,DM所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.
則D(0,0,0),B(0,,0),M(0,0,a),E(,0,a),F(xiàn)(-,0,a),
所以,由于,所以可以做為平面ABC的法向量,設(shè)是平面EFB的法向量,則由
,所以,令y=2,則
設(shè)平面EFB與平面ABC所成的銳二面角為θ
,
所以
點(diǎn)評:本題考查空間中直線與平面之間的平行和垂直關(guān)系,用空間向量求解夾角,本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系,把理論的推導(dǎo)轉(zhuǎn)化成數(shù)字的運(yùn)算,降低了題目的難度.
練習(xí)冊系列答案
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(2)當(dāng)M在線段EF的什么位置時(shí),AM∥平面BDF,并證明你的結(jié)論;
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