【題目】用一個長為,寬為的矩形鐵皮(如圖1)制作成一個直角圓形彎管(如圖3):先在矩形的中間畫一條曲線,并沿曲線剪開,將所得的兩部分分別卷成體積相等的斜截圓柱狀(如圖2),然后將其中一個適當翻轉(zhuǎn)拼接成直角圓形彎管(如圖3)(不計拼接損耗部分),并使得直角圓形彎管的體積最大;
(1)求直角圓形彎管(圖3)的體積;
(2)求斜截面橢圓的焦距;
(3)在相應的圖1中建立適當?shù)淖鴺讼,使所畫的曲線的方程為,求出方程并畫出大致圖像;
【答案】(1); (2)2; (3)見解析;
【解析】
(1)直角圓形彎管的體積即為圓柱的體積,要使直角圓形彎管的體積最大,可取圓柱的高為,半徑為1,計算可得所求體積;
(2)求得,以矩形的下邊的中點為,下邊所在直線為軸,建立所示的直角坐標系,設出曲線方程,應用周期性和對稱性,求得方程,再由橢圓的長軸和短軸的關系,可得焦距;
(3)由(2)可得方程,畫出方程表示的曲線.
解:(1)直角圓形彎管的體積即為圓柱的體積,
要使直角圓形彎管的體積最大,
可取圓柱的高為,
那么圓柱的底面半徑為,
即有直角圓形彎管(圖的體積為;
(2)由圖2可得橢圓短軸長為,即,
可以矩形的下邊的中點為,
下邊所在直線為軸,建立如圖所示的直角坐標系,
由周期為,可得,
再由時,;時,,
又,可得,
所求方程為,,
可得,
解得,,
可得橢圓的焦距為2;
(3)由(2)可得,方程為,,
圖象如右圖.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了配合今年上海迪斯尼樂園工作,某單位設計了統(tǒng)計人數(shù)的數(shù)學模型,以表示第個時刻進入園區(qū)的人數(shù);以表示第個時刻離開園區(qū)的人數(shù).設定以15分鐘為一個計算單位,上午9點15分作為第1個計算人數(shù)單位,即;9點30分作為第2個計算單位,即;依次類推,把一天內(nèi)從上午9點到晚上8點15分分成45個計算單位(最后結果四舍五入,精確到整數(shù)).
(1)試計算當天14點至15點這1小時內(nèi)進入園區(qū)的游客人數(shù)、離開園區(qū)的游客人數(shù)各為多少?
(2)從13點45分(即)開始,有游客離開園區(qū),請你求出這之后的園區(qū)內(nèi)游客總人數(shù)最多的時刻,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),則下面結論正確的是( )
A. 把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2
B. 把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2
C. 把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2
D. 把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù),,其中,e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若在上存在兩個極值點,求a的取值范圍;
(2)當,設,,若在上存在兩個極值點,,且,求證: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知平面上的線段及點,任取上的一點,線段長度的最小值稱為點到線段的距離,記為,設,,,,,,若滿足,則關于的函數(shù)解析式為________
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:的準線經(jīng)過點.
(1)求拋物線的方程;
(2)設是原點,直線恒過定點,且與拋物線交于,兩點,直線與直線,分別交于點,.請問:是否存在以為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個定點?若存在,求出兩個定點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】以直角坐標系原點O為極點,x軸的正半軸為極軸.已知點P的直角坐標為,點M的極坐標為,若直線l過點P,且傾斜角為,圓C以M點為圓心,4為半徑.
求直線l和圓C的極坐標方程;
直線l與x軸y軸分別交于A,B兩點,Q為圓C上一動點,求面積的最小值.
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