Question

已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a、b、c，則下列條件中能推出△ABC為銳角三角形的條件是

④

．（把正確答案的序號都寫在橫線上）
①sinA+cosA=

1

5

②

AB

•

BC

＜0
③b=3，c=3

3

，B=30°④tanA+tanB+tanC＞0．

Answer 1

分析：①對sinA+cosA=

1

5

，兩邊同時平方可得整理可得，sinAcosA=-

12

25

 則有

π

2

＜A＜π
②

AB

•

BC

＜0⇒B為銳角，但不能肯定△ABC為銳角三角形；③由正弦定理可得

3

sin 30°

=

3 3

sinC

⇒sinC=

3

2

 結(jié)合c＞b 可得C＞B=30°從而可得，當(dāng)C=60°時A=90° 當(dāng) C=120°時，A=30°④由題意可得A，B，C不能為直角，鈍角最多一個，故可設(shè)設(shè)A，B均為銳角，由tanA+tanB+tanC＞0，結(jié)合三角形的內(nèi)角和及兩角和的正切公式，tanA+tanB＞tan（A+B）⇒

tanAtanB

1-tanAtanB

＜0⇒tanAtanB＞1
⇒tanA＞cotB=tan（

π

2

-B）⇒A＞

π

2

-B⇒A+B＞

π

2

，C＜

π

2

解答：解：①sinA+cosA=

1

5

，⇒1+2sinAcosA=

1

25

，sinAcosA=-

12

25

 所以

π

2

＜A＜π①不能推出
②

AB

•

BC

＜0⇒B為銳角，但不能肯定△ABC為銳角三角形
③由正弦定理可得

3

sin 30°

=

3 3

sinC

⇒sinC=

3

2

∵c＞b∴C＞B=30°
當(dāng)C=60°時A=90° 當(dāng) C=120°時，A=30°③不能推出
④由題意可得A，B，C不能為直角，故可設(shè)設(shè)A，B均為銳角
tanA+tanB+tanC＞0⇒tanA+tanB＞tan（A+B）⇒

tanAtanB

1-tanAtanB

＜0⇒tanAtanB＞1
⇒tanA＞cotB=tan（

π

2

-B）⇒A＞

π

2

-B⇒A+B＞

π

2

，C＜

π

2

 ④為銳角三角形
故答案為：④

點評：本題以三角形的判斷為平臺，綜合考查了同角平方關(guān)系，向量的夾角的概念，正弦定理及大邊對大角，兩角和的正切公式、三角形的內(nèi)角和定理、正切函數(shù)的單調(diào)性．