Question

若A₁，A₂，…，A_m為集合A={1，2，…，n}（n≥2且n∈N^*）的子集，且滿足兩個(gè)條件：
①A₁∪A₂∪…∪A_m=A；
②對(duì)任意的{x，y}⊆A，至少存在一個(gè)i∈{1，2，3，…，m}，使A_i∩{x，y}={x}或{y}．則稱(chēng)集合組A₁，A₂，…，A_m具有性質(zhì)P．
如圖，作n行m列數(shù)表，定義數(shù)表中的第k行第l列的數(shù)為a_kl=

1 (k∈Al) 0 (k∉Al)

．

a11	a12	…	a1m
a21	a22	…	a2m
…	…	…	…
an1	an2	…	anm

（Ⅰ）當(dāng)n=4時(shí)，判斷下列兩個(gè)集合組是否具有性質(zhì)P，如果是請(qǐng)畫(huà)出所對(duì)應(yīng)的表格，如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由；
集合組1：A₁={1，3}，A₂={2，3}，A₃={4}；
集合組2：A₁={2，3，4}，A₂={2，3}，A₃={1，4}．
（Ⅱ）當(dāng)n=7時(shí)，若集合組A₁，A₂，A₃具有性質(zhì)P，請(qǐng)先畫(huà)出所對(duì)應(yīng)的7行3列的一個(gè)數(shù)表，再依此表格分別寫(xiě)出集合A₁，A₂，A₃；
（Ⅲ）當(dāng)n=100時(shí)，集合組A₁，A₂，…，A_t是具有性質(zhì)P且所含集合個(gè)數(shù)最小的集合組，求t的值及|A₁|+|A₂|+…|A_t|的最小值．（其中|A_i|表示集合A_i所含元素的個(gè)數(shù)）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由集合組1具有性質(zhì)P，所對(duì)應(yīng)的數(shù)表知集合組2不具有性質(zhì)P，因?yàn)榇嬖趝2，3}⊆{1，2，3，4}，有A_i∩{x，y}={x}或{y}矛盾，所以集合組A₁={2，3，4}，A₂={2，3}，A₃={1，4}不具有性質(zhì)P．
（Ⅱ）由題意得：A₁={3，4，5，7}，A₂={2，4，6，7}，A₃={1，5，6，7}．
（Ⅲ）設(shè)A₁，A₂，…，A_t所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表M，因?yàn)榧�合組A₁，A₂，…，A_t為具有性質(zhì)P的集合組，所以集合組A₁，A₂，…，A_t滿足條件①和②，下面詳細(xì)分析條件①和②，求得t的值及|A₁|+|A₂|+…|A_t|的最小值．

解答：解：（Ⅰ）解：集合組1具有性質(zhì)P．…（1分）
所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為：
集合組2不具有性質(zhì)P．…（4分）
因?yàn)榇嬖趝2，3}⊆{1，2，3，4}，
有{2，3}∩A₁={2，3}，{2，3}∩A₂={2，3}，{2，3}∩A₃=∅，
與對(duì)任意的{x，y}⊆A，都至少存在一個(gè)i∈{1，2，3}，有A_i∩{x，y}={x}或{y}矛盾，所以集合組A₁={2，3，4}，A₂={2，3}，A₃={1，4}不具有性質(zhì)P．…（5分）
（Ⅱ）
A₁={3，4，5，7}，A₂={2，4，6，7}，A₃={1，5，6，7}．…（8分）
（注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對(duì)應(yīng)的集合組也不同）
（Ⅲ）設(shè)A₁，A₂，…，A_t所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表M，
因?yàn)榧�合組A₁，A₂，…，A_t為具有性質(zhì)P的集合組，
所以集合組A₁，A₂，…，A_t滿足條件①和②，
由條件①：A₁∪A₂∪…∪A_t=A，
可得對(duì)任意x∈A，都存在i∈{1，2，3，…，t}有x∈A_i，
所以a_xi=1，即第x行不全為0，
所以由條件①可知數(shù)表M中任意一行不全為0．…（9分）
由條件②知，對(duì)任意的{x，y}⊆A，都至少存在一個(gè)i∈{1，2，3，…，t}，使A_i∩{x，y}={x}或{y}，所以a_xi，a_yi一定是一個(gè)1一個(gè)0，即第x行與第y行的第i列的兩個(gè)數(shù)一定不同．
所以由條件②可得數(shù)表M中任意兩行不完全相同．…（10分）
因?yàn)橛?，1所構(gòu)成的t元有序數(shù)組共有2^t個(gè)，去掉全是0的t元有序數(shù)組，共有2^t-1個(gè)，又因數(shù)表M中任意兩行都不完全相同，所以100≤2^t-1，
所以t≥7．
又t=7時(shí)，由0，1所構(gòu)成的7元有序數(shù)組共有128個(gè)，去掉全是0的數(shù)組，共127個(gè)，選擇其中的100個(gè)數(shù)組構(gòu)造100行7列數(shù)表，則數(shù)表對(duì)應(yīng)的集合組滿足條件①②，即具有性質(zhì)P．
所以t=7．…（12分）
因?yàn)閨A₁|+|A₂|+…+|A_t|等于表格中數(shù)字1的個(gè)數(shù)，
所以，要使|A₁|+|A₂|+…+|A_t|取得最小值，只需使表中1的個(gè)數(shù)盡可能少，
而t=7時(shí)，在數(shù)表M中，1的個(gè)數(shù)為1的行最多7行；1的個(gè)數(shù)為2的行最多C₇²=21行；1的個(gè)數(shù)為3的行最多C₇³=35行；1的個(gè)數(shù)為4的行最多C₇⁴=35行；
因?yàn)樯鲜龉灿?8行，所以還有2行各有5個(gè)1，
所以此時(shí)表格中最少有7+2×21+3×35+4×35+5×2=304個(gè)1．
所以|A₁|+|A₂|+…+|A_t|的最小值為304．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．