如圖，在四棱錐中，底面，， ，   ，是的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）證明：平面；
（Ⅲ）求二面角的正切值．

（Ⅰ）證明：見解析。（Ⅱ）證明：見解析。（Ⅲ）二面角的正切值是．

解析試題分析：（1）根據(jù)題目中的線面的垂直性質(zhì)定理得到線線垂直的證明。
（2）利用上一問的結(jié)論和線面垂直的判定定理得到證明。
（3）結(jié)合三垂線定理作出二面角的平面角，然后借助于三角形來求解大小。
（Ⅰ）證明：在四棱錐中，因底面，平面，故．
，平面．
而平面，．…………………………………………（4分）
（Ⅱ）證明：由，，可得．
是的中點(diǎn)，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面內(nèi)的射影是，，．
又，綜上得平面．………………………………（8分）
（Ⅲ）解法一：過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)．則（Ⅱ）知，平面，在平面內(nèi)的射影是，則．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．設(shè)，
可得．
在中，，，
則．
在中，．
所以二面角的正切值為．……………………………………（12分）
解法二：由題設(shè)底面，平面，則平面平面，交線為．
過點(diǎn)作，垂足為，故平面．過點(diǎn)作

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖，平面⊥平面，是直角三角形，，四邊形是直角梯形，其中,，，且，是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，長方體AC1中，AB＝2，BC＝AA1＝1.E、F、G分別為棱DD1、D1C1、BC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
(2)在底面A1D1上有一個(gè)靠近D1的四等分點(diǎn)H，求證： EH∥平面FGB1；
(3)求四面體EFGB1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本小題滿分14分)如圖，在四面體中,,是的中點(diǎn)．

(1)求證:平面；
(2)設(shè)為的重心,是線段上一點(diǎn),且.求證:平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)

（I）求證：平面BCD；
（II）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，點(diǎn)O是對角線與的交點(diǎn),是的中點(diǎn),.

(1) 求證：平面;
(2) 平面平面;
(3) 當(dāng)四棱錐的體積等于時(shí),求的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
如圖,在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）中, , , , ,點(diǎn)是的中點(diǎn).

(Ⅰ) 求證:∥平面；
(Ⅱ)求AC1與平面CC1B1B所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，，，且，E是PC的中點(diǎn)．

（1）證明:；  
（2）證明:；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，底面邊長及側(cè)棱長均為2，D是棱AB的中點(diǎn)，
(1)求證;
(2)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.

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