Question

已知方程x²+y²+x-6y+m=0，
（1）若此方程表示的曲線是圓C，求m的取值范圍；
（2）若（1）中的圓C與直線x+2y-3=0相交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為原點(diǎn)），求圓C的方程；  
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)（-2，4）作直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|=4，求直線MN的方程．

Answer 1

分析：（1）把方程x²+y²+x-6y+m=0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為  (x+

1

2

)2+(y-3)2= 

37

4

-m，故有

37

4

-m＞0，由此解得
m的范圍．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．∵OP⊥OQ，故 x₁•x₂+y₁•y₂=0 ①，把直線x+2y-3=0代入圓的方程化簡，利用根
與系數(shù)的關(guān)系可得y₁+y₂=4，y₁•y₂=

12+m

5

，代入①求得m的值，即可得到圓C的方程．
（3）當(dāng)直線MN垂直x軸時(shí)，直線MN的方程為：x=2，滿足|MN|=4．當(dāng)直線MN不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：
y-4=k（x+2），代入圓的方程利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x₃+x₄和x₃•x₄的值，由弦長公式可得 4=

k2+1

•|x3 -x4|，
求出k的值，即可得到直線MN的方程．

解答：解：（1）方程x²+y²+x-6y+m=0即 (x+

1

2

)2+(y-3)2= 

37

4

-m，∴

37

4

-m＞0，解得 m＜

37

4

．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．∵OP⊥OQ，故 x₁•x₂+y₁•y₂=0  ①．
由

x2+y2+x-6y+m=0  x+ 2y -3=0

得 5y²-20y+12+m=0，∴y₁+y₂=4，y₁•y₂=

12+m

5

．
∴x₁•x₂=（3-2y₁）（3-2y₂）=9-6（y₁+y₂）+4y₁•y₂．
代入①可得5y₁•y₂-6（y₁+y₂）+9=0，解得m=3，滿足△＞0．
圓C的方程為：(x+

1

2

)2+(y-3)2=

25

4

．
（3）當(dāng)直線MN垂直x軸時(shí)，直線MN的方程為：x=2，此時(shí)，直線MN與圓的焦點(diǎn)分別為（-2，1）和（-2，5），
滿足|MN|=4．
當(dāng)直線MN不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線MN斜率為k，直線MN的方程為：y-4=k（x+2），即 kx-y+2k+4=0．
把直線MN的方程代入圓的方程化簡可得（ k²+1）x²+（4k²+2k+1）x+（k²+4k-5）=0．
故 x₃+x₄=-

4k2+2k+1

k2+1

，x₃•x₄=

k2+4k-5

k2+1

．
由弦長公式可得 4=

k2+1

•|x3 -x4|=

k2+1

•

(x3 +x4)2-4x3 •x4

，
解得k=

5

12

，
故所求的直線MN的方程為 5x-12y=58=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二元二次方程表示圓的條件，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系以及弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．