Question

（本小題滿分14分）設函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知,（）是函數(shù)在的圖象上的任意兩點，且滿足，求a的最大值；

（3）設，若對于任意給定的，方程在內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根，求a的取值范圍．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）

 

Answer 1

（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；遞減區(qū)間是；（2）3

（3）.

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，則若，則在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（2）利用導數(shù)方法證明不等式在區(qū)間上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)，其中一個重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口，觀察式子的特點，找到特點證明不等式；（3））對于恒成立的問題，常用到兩個結(jié)論：（1），（2），（4）解決含有參數(shù)的單調(diào)性的問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想.

試題解析：（1）， 1分

由，得，該方程的判別式△＝，

可知方程有兩個實數(shù)根，又，故取，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減．

則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；遞減區(qū)間是． 3分

（2）不妨設，不等式轉(zhuǎn)化為，

令，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故恒成立，

故恒成立，即恒成立． 5分

當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)取得最小值3，則實數(shù)的取值范圍是，則實數(shù)的最大值為3． 7分

（3），當時，，是增函數(shù)；當時，，是減函數(shù)．可得函數(shù)在區(qū)間的值域為． 9分

令，則，

由，結(jié)合（1）可知，方程在上有一個實數(shù)根，若，則在上單調(diào)遞增，不合題意，可知在有唯一的解，且在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減． 10分

因為，方程在內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根，所以，且． 11分

由，即，解得．

由，即，，

因為，所以，代入，得，

令，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則，

所以，而在時單調(diào)遞增，可得，

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是 14分.

考點：1、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2、利用導數(shù)求函數(shù)的最值；3、方程根的個數(shù).