Question

如圖，已知AB是過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
求證：
（1）|AB|=x₁+x₂+p；
（2）y₁ y₂=-p²，x₁ x₂=

p2

4

；
（3）（理科）直線的傾斜角為θ時，求弦長|AB|．
（3）（文科）當p=2，直線AB的傾斜角為

π

4

時，求弦長|AB|．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義，即可證明；
（2）設直線AB的方程為x=my+

p

2

，代入y²=2px，再利用韋達定理，即可得到結(jié)論；
（3）（理科）根據(jù)（1）的結(jié)論，表示出x₁+x₂即可；
（3）（文科）根據(jù)（3）（理科）的結(jié)論，即可求解．

解答：（1）證明：∵AB是過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點的弦，
∴由拋物線定義可得|AB|=x₁+

p

2

+x₂+

p

2

=x₁+x₂+p；
（2）證明：設直線AB的方程為x=my+

p

2

，代入y²=2px，可得y²-2pmy-p²=0
∴y₁y₂=-p²，∴x₁x₂=

p2

4

；
（3）（理科）解：由（2）知，y₁y₂=-p²，y₁+y₂=2pm，∴

y

2 1

+

y

2 2

=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=4p²m²+2p²，
∴

y

2 1

+

y

2 2

=2p（x₁+x₂）=4p²m²+2p²，∴x₁+x₂=2pm²+p，
∴θ=90°時，m=0，∴|AB|=2p；θ≠90°時，m=

1

tanθ

，|AB|=

2p

tan2θ

+2p；
（4）（文科）由（3）（理科）知，|AB|=

2p

tan2θ

+2p=8．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查弦長的計算，屬于中檔題．