Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+2+b，（a≠0），若f（x）在區(qū)間[2，3]上有最大值5，最小值2．
（1）求a，b的值；
（2）若b＜1，g（x）=f（x）-mx在[2，4]上為單調函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)f（x）=a（x-1）²+2+b-a，（a≠0），對稱軸為x=1，分當a＞0時、當a＜0時兩種情況，分別依據(jù)條件利用函數(shù)的單調性求得a、b的值．
（2）由題意可得可得

a=1 b=0

，g（x）=x²-（m+2）x+2，根據(jù)條件可得

m+2

2

≤2，或

m+2

2

≥4，由此求得m的范圍．

解答：解：（1）由于函數(shù)f（x）=ax²-2ax+2+b=a（x-1）²+2+b-a，（a≠0），對稱軸為x=1，
當a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上單調遞增，由題意可得

f(2)=2+b=2 f(3)=2+b+3a=5

，
解得

a=1 b=0

．
當a＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上單調遞減，由題意可得

f(2)=2+b=5 f(3)=2+b+3a=2

，
解得

a=-1 b=3

．
綜上可得，

a=1 b=0

，或 

a=-1 b=3

．
（2）若b＜1，則由（1）可得

a=1 b=0

，g（x）=f（x）-mx=x²-（m+2）x+2，
再由函數(shù)g（x）在[2，4]上為單調函數(shù)，可得

m+2

2

≤2，或

m+2

2

≥4，
解得 m≤2，或m≥6，
故m的范圍為（-∞，2]∪[6，+∞）．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．