Question

已知數(shù)列滿足：，

（I）求的值；

（II）設(shè)，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（III）   對任意的正整數(shù)，試討論與的大小關(guān)系.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ ，，，，

∴ ；；.   ………………3分

（Ⅱ）由題設(shè)，對于任意的正整數(shù)，都有：，

∴ .∴ 數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.

∴ .       …………………………………………………………6分

（Ⅲ）對于任意的正整數(shù)，

當(dāng)或時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.      ……………………………………8分

證明如下：

首先，由可知時(shí)，；

其次，對于任意的正整數(shù)，

時(shí)，；

…………………9分

時(shí)，

所以，.                                                  …………………10分

時(shí)，

事實(shí)上，我們可以證明：對于任意正整數(shù)，（*）（證明見后），所以，此時(shí)，.

綜上可知：結(jié)論得證.                                                          

對于任意正整數(shù)，（*）的證明如下：

1）當(dāng)（）時(shí)，

，

滿足（＊）式。

2）當(dāng)時(shí)，，滿足（＊）式。

3）當(dāng)時(shí)，

于是，只須證明，如此遞推，可歸結(jié)為1）或2）的情形，于是（＊）得證.                                                                           …………………12分